Đại số Ví dụ

${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} \leq 4$

Bước 1

Trừ ${(x - 1)}^{2}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

${(y + 2)}^{2} \leq 4 - {(x - 1)}^{2}$

Bước 2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt{{(y + 2)}^{2}} \leq \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| y + 2 | \leq \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn $\sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{2^{2} - {(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2$ và $b = x - 1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(2 + x - 1) (2 - (x - 1))}$

Bước 3.2.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.3.1

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - (x - 1))}$

Bước 3.2.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - x - - 1)}$

Bước 3.2.1.3.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - x + 1)}$

Bước 3.2.1.3.4

Cộng $2$ và $1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Bước 4

Viết $| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$y + 2 \geq 0$

Bước 4.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$y \geq - 2$

Bước 4.3

Trong phần nơi mà $y + 2$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Bước 4.4

Tìm tập xác định của $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ và tìm giao điểm với $y \geq - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Tìm tập xác định của $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$(x + 1) (- x + 3) \geq 0$

Bước 4.4.1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.1

Rút gọn $(x + 1) (- x + 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.1.1

Khai triển $(x + 1) (- x + 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (- x + 3) + 1 (- x + 3) \geq 0$

Bước 4.4.1.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x + 3) \geq 0$

Bước 4.4.1.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Bước 4.4.1.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.1.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Bước 4.4.1.2.1.2.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.1.2.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Bước 4.4.1.2.1.2.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Bước 4.4.1.2.1.2.1.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$- x^{2} + 3 \cdot x + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Bước 4.4.1.2.1.2.1.4

Nhân $- x$ với $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 1 \cdot 3 \geq 0$

Bước 4.4.1.2.1.2.1.5

Nhân $3$ với $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 3 \geq 0$

Bước 4.4.1.2.1.2.2

Trừ $x$ khỏi $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$

Bước 4.4.1.2.2

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Bước 4.4.1.2.3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2} + 2 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.3.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Bước 4.4.1.2.3.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Bước 4.4.1.2.3.1.3

Viết lại $3$ ở dạng $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Bước 4.4.1.2.3.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Bước 4.4.1.2.3.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Bước 4.4.1.2.3.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.3.2.1

Phân tích $x^{2} - 2 x - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.3.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 3$ và tổng của chúng là $- 2$ .

$- 3, 1$

Bước 4.4.1.2.3.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Bước 4.4.1.2.3.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Bước 4.4.1.2.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Bước 4.4.1.2.5

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.5.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 4.4.1.2.5.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 4.4.1.2.6

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.6.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 4.4.1.2.6.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 4.4.1.2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (x - 3) (x + 1) = 0$ đúng.

$x = 3, - 1$

Bước 4.4.1.2.8

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Bước 4.4.1.2.9

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.9.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.9.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 4.4.1.2.9.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$((- 4) + 1) (- (- 4) + 3) \geq 0$

Bước 4.4.1.2.9.1.3

Vế trái $- 21$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 4.4.1.2.9.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 1 < x < 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.9.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 1 < x < 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 4.4.1.2.9.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$((0) + 1) (- (0) + 3) \geq 0$

Bước 4.4.1.2.9.2.3

Vế trái $3$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 4.4.1.2.9.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.9.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 4.4.1.2.9.3.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$((6) + 1) (- (6) + 3) \geq 0$

Bước 4.4.1.2.9.3.3

Vế trái $- 21$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 4.4.1.2.9.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 1$ Sai

$- 1 < x < 3$ Đúng

$x > 3$ Sai

$x < - 1$ Sai

$- 1 < x < 3$ Đúng

$x > 3$ Sai

Bước 4.4.1.2.10

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 1 \leq x \leq 3$

Bước 4.4.1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $y$ và làm cho biểu thức xác định.

$[- 1, 3]$

Bước 4.4.2

Tìm phần giao của $y \geq - 2$ và $[- 1, 3]$ .

$- 1 \leq y \leq 3$

Bước 4.5

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$y + 2 < 0$

Bước 4.6

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$y < - 2$

Bước 4.7

Trong phần nơi mà $y + 2$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Bước 4.8

Tìm tập xác định của $- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ và tìm giao điểm với $y < - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Tìm tập xác định của $- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$(x + 1) (- x + 3) \geq 0$

Bước 4.8.1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.1

Rút gọn $(x + 1) (- x + 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.1.1

Khai triển $(x + 1) (- x + 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (- x + 3) + 1 (- x + 3) \geq 0$

Bước 4.8.1.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x + 3) \geq 0$

Bước 4.8.1.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Bước 4.8.1.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.1.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Bước 4.8.1.2.1.2.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.1.2.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Bước 4.8.1.2.1.2.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Bước 4.8.1.2.1.2.1.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$- x^{2} + 3 \cdot x + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Bước 4.8.1.2.1.2.1.4

Nhân $- x$ với $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 1 \cdot 3 \geq 0$

Bước 4.8.1.2.1.2.1.5

Nhân $3$ với $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 3 \geq 0$

Bước 4.8.1.2.1.2.2

Trừ $x$ khỏi $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$

Bước 4.8.1.2.2

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Bước 4.8.1.2.3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2} + 2 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.3.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Bước 4.8.1.2.3.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Bước 4.8.1.2.3.1.3

Viết lại $3$ ở dạng $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Bước 4.8.1.2.3.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Bước 4.8.1.2.3.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Bước 4.8.1.2.3.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.3.2.1

Phân tích $x^{2} - 2 x - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.3.2.1.1

$- 3, 1$

Bước 4.8.1.2.3.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Bước 4.8.1.2.3.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Bước 4.8.1.2.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Bước 4.8.1.2.5

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.5.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 4.8.1.2.5.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 4.8.1.2.6

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.6.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 4.8.1.2.6.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 4.8.1.2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (x - 3) (x + 1) = 0$ đúng.

$x = 3, - 1$

Bước 4.8.1.2.8

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Bước 4.8.1.2.9

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.9.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.9.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 4.8.1.2.9.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$((- 4) + 1) (- (- 4) + 3) \geq 0$

Bước 4.8.1.2.9.1.3

Vế trái $- 21$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 4.8.1.2.9.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 1 < x < 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.9.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 1 < x < 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 4.8.1.2.9.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$((0) + 1) (- (0) + 3) \geq 0$

Bước 4.8.1.2.9.2.3

Vế trái $3$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 4.8.1.2.9.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.2.9.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 4.8.1.2.9.3.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$((6) + 1) (- (6) + 3) \geq 0$

Bước 4.8.1.2.9.3.3

Vế trái $- 21$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 4.8.1.2.9.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 1$ Sai

$- 1 < x < 3$ Đúng

$x > 3$ Sai

$x < - 1$ Sai

$- 1 < x < 3$ Đúng

$x > 3$ Sai

Bước 4.8.1.2.10

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 1 \leq x \leq 3$

Bước 4.8.1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $y$ và làm cho biểu thức xác định.

$[- 1, 3]$

Bước 4.8.2

Tìm phần giao của $y < - 2$ và $[- 1, 3]$ .

$Không có đáp án$

Bước 4.9

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} & - 1 \leq y \leq 3 \end{cases}$

Bước 5

Giải $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ khi $- 1 \leq y \leq 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$y \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 2$

Bước 5.2

Tìm phần giao của $y \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 2$ và $- 1 \leq y \leq 3$ .

$- 1 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Bước 6

Tìm hợp của các đáp án.

$- 1 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Bước 7