Đại số Ví dụ

$\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Bước 1

Thay thế $\sin^{2} (x)$ bằng $1 - \cos^{2} (x)$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sqrt{2} (1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Bước 2.2

Nhân $\sqrt{2}$ với $1$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Bước 3

Sắp xếp lại đa thức.

$\sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) + \sqrt{2} = 0$

Bước 4

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

$\sqrt{2} (- {(u)}^{2}) + u + \sqrt{2} = 0$

Bước 5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6

Thay các giá trị $a = - \sqrt{2}$ , $b = 1$ , và $c = \sqrt{2}$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.1.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.1.3

Nhân $4 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.1.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.1.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.1.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.1.4

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.1.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.1.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.1.4.5

Tính số mũ.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.1.5

Nhân $4$ với $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.1.6

Cộng $1$ và $8$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.1.7

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u = \frac{- 1 \pm 3}{2 (- \sqrt{2})}$

Bước 7.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$

Bước 7.3

Rút gọn $\frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$ .

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

Bước 7.4

Nhân $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 7.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nhân $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 7.5.2

Di chuyển $\sqrt{2}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Bước 7.5.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Bước 7.5.4

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Bước 7.5.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 7.5.6

Cộng $1$ và $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 7.5.7

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 7.5.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 7.5.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.5.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.5.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 7.5.7.5

Tính số mũ.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 7.6

Nhân $2$ với $2$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Bước 7.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ .

$u = \frac{\sqrt{2} (1 \pm 3)}{4}$

Bước 8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 9

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 10

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = \sqrt{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 11

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Khoảng biến thiên của cosin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $\sqrt{2}$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 12

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 12.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ là $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 12.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Bước 12.4

Rút gọn $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Bước 12.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Bước 12.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Bước 12.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.3.1

Nhân $4$ với $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Bước 12.4.3.2

Trừ $3 π$ khỏi $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 12.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 12.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 12.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 12.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 12.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 13

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$