Đại số Ví dụ

${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

Bước 1

Vì $x = r \cos (θ)$ , nên thay $x$ bằng $r \cos (θ)$ .

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

Bước 2

Vì $y = r \sin (θ)$ , nên thay $y$ bằng $r \sin (θ)$ .

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} = 25$

Bước 3

Giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ $25$ khỏi cả hai vế của phương trình.

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Viết lại ${(r \cos (θ) - 3)}^{2}$ ở dạng $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ .

$(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Bước 3.2.1.2

Khai triển $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - 3) - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Bước 3.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Bước 3.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Bước 3.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.3.1.1

Nhân $r$ với $r$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.3.1.1.1

Di chuyển $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Bước 3.2.1.3.1.1.2

Nhân $r$ với $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Bước 3.2.1.3.1.2

Nhân $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.3.1.2.1

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Bước 3.2.1.3.1.2.2

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Bước 3.2.1.3.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Bước 3.2.1.3.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Bước 3.2.1.3.1.3

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 \cdot (r \cos (θ)) - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Bước 3.2.1.3.1.4

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 r \cos (θ) - 3 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Bước 3.2.1.3.2

Trừ $3 r \cos (θ)$ khỏi $- 3 r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Bước 3.2.1.4

Viết lại ${(r \sin (θ) + 4)}^{2}$ ở dạng $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + (r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Bước 3.2.1.5

Khai triển $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ) + 4) + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Bước 3.2.1.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Bước 3.2.1.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Bước 3.2.1.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.6.1.1

Nhân $r$ với $r$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.6.1.1.1

Di chuyển $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \cdot r \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Bước 3.2.1.6.1.1.2

Nhân $r$ với $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Bước 3.2.1.6.1.2

Nhân $r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.6.1.2.1

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Bước 3.2.1.6.1.2.2

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Bước 3.2.1.6.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Bước 3.2.1.6.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Bước 3.2.1.6.1.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 \cdot (r \sin (θ)) + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Bước 3.2.1.6.1.4

Nhân $4$ với $4$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 r \sin (θ) + 4 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Bước 3.2.1.6.2

Cộng $4 r \sin (θ)$ và $4 r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Bước 3.2.2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Di chuyển $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Bước 3.2.2.2

Đưa $r^{2}$ ra ngoài $r^{2} \cos^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Bước 3.2.2.3

Đưa $r^{2}$ ra ngoài $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Bước 3.2.2.4

Đưa $r^{2}$ ra ngoài $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Bước 3.2.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Bước 3.2.4

Áp dụng đẳng thức pytago.

$r^{2} \cdot 1 - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Bước 3.2.5

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Nhân $r^{2}$ với $1$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Bước 3.2.5.2

Cộng $9$ và $16$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25 = 0$

Bước 3.2.5.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.3.1

Trừ $25$ khỏi $25$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 0 = 0$

Bước 3.2.5.3.2

Cộng $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ và $0$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

Bước 3.3

Đưa $r$ ra ngoài $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $r$ ra ngoài $r^{2}$ .

$r \cdot r - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

Bước 3.3.2

Đưa $r$ ra ngoài $- 6 r \cos (θ)$ .

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + 8 r \sin (θ) = 0$

Bước 3.3.3

Đưa $r$ ra ngoài $8 r \sin (θ)$ .

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

Bước 3.3.4

Đưa $r$ ra ngoài $r \cdot r + r (- 6 \cos (θ))$ .

$r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

Bước 3.3.5

Đưa $r$ ra ngoài $r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ))$ .

$r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$

Bước 3.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$r = 0$

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

Bước 3.5

Đặt $r$ bằng với $0$ .

$r = 0$

Bước 3.6

Đặt $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ bằng $0$ và giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đặt $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ bằng với $0$ .

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

Bước 3.6.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $r$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Cộng $6 \cos (θ)$ cho cả hai vế của phương trình.

$r + 8 \sin (θ) = 6 \cos (θ)$

Bước 3.6.2.2

Trừ $8 \sin (θ)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

Bước 3.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$ đúng.

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$