Đại số Ví dụ

$f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$

Bước 1

Viết $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ ở dạng một phương trình.

$y = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 12 \cdot 11^{3 y} + 13$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $12 \cdot 11^{3 y} + 13 = x$ .

$12 \cdot 11^{3 y} + 13 = x$

Bước 3.2

Trừ $13$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$ cho $12$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$ cho $12$ .

$\frac{12 \cdot 11^{3 y}}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 \cdot 11^{3 y}}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $11^{3 y}$ cho $1$ .

$11^{3 y} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$11^{3 y} = \frac{x}{12} - \frac{13}{12}$

Bước 3.4

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (11^{3 y}) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$

Bước 3.5

Khai triển $\ln (11^{3 y})$ bằng cách di chuyển $3 y$ ra bên ngoài lôgarit.

$3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$

Bước 3.6

Chia mỗi số hạng trong $3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$ cho $3 \ln (11)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$ cho $3 \ln (11)$ .

$\frac{3 y \ln (11)}{3 \ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Bước 3.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y \ln (11)}{3 \ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Bước 3.6.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Bước 3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (11)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Bước 3.6.2.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$ có là hàm ngược của $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 13}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 13 - 13}{12})}{3 \ln (11)}$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $12 \cdot 11^{3 x} + 13 - 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Trừ $13$ khỏi $13$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 0}{12})}{3 \ln (11)}$

Bước 5.2.3.2.2

Cộng $12 \cdot 11^{3 x}$ và $0$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x}}{12})}{3 \ln (11)}$

Bước 5.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x}}{12})}{3 \ln (11)}$

Bước 5.2.3.3.2

Chia $11^{3 x}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{3 \ln (11)}$

Bước 5.2.4

Rút gọn $3 \ln (11)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{\ln (11^{3})}$

Bước 5.2.5

Nâng $11$ lên lũy thừa $3$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{\ln (1331)}$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)})} + 13$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{3 \ln (11)})} + 13$

Bước 5.3.3.2

Rút gọn $3 \ln (11)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (11^{3})})} + 13$

Bước 5.3.3.3

Nâng $11$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)})} + 13$

Bước 5.3.3.4

Nhân $3 \frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Kết hợp $3$ và $\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{3 \ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}} + 13$

Bước 5.3.3.4.2

Rút gọn $3 \ln (\frac{x - 13}{12})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln ({(\frac{x - 13}{12})}^{3})}{\ln (1331)}} + 13$

Bước 5.3.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x - 13}{12}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln (\frac{{(x - 13)}^{3}}{12^{3}})}{\ln (1331)}} + 13$

Bước 5.3.3.5.2

Nâng $12$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln (\frac{{(x - 13)}^{3}}{1728})}{\ln (1331)}} + 13$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$ là hàm ngược của $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$