Đại số Ví dụ

$f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = y + 2 \sqrt{y - 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $y + 2 \sqrt{y - 1} = x$ .

$y + 2 \sqrt{y - 1} = x$

Bước 3.2

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \sqrt{y - 1} = x - y$

Bước 3.3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${(2 \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y - 1}$ ở dạng ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn ${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$4 {(y - 1)}^{1} = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.4

Rút gọn.

$4 (y - 1) = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y + 4 \cdot - 1 = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$4 y - 4 = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Rút gọn ${(x - y)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Viết lại ${(x - y)}^{2}$ ở dạng $(x - y) (x - y)$ .

$4 y - 4 = (x - y) (x - y)$

Bước 3.4.3.1.2

Khai triển $(x - y) (x - y)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y - 4 = x (x - y) - y (x - y)$

Bước 3.4.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Bước 3.4.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Bước 3.4.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$4 y - 4 = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Bước 3.4.3.1.3.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Bước 3.4.3.1.3.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Bước 3.4.3.1.3.1.4

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.3.1.4.1

Di chuyển $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Bước 3.4.3.1.3.1.4.2

Nhân $y$ với $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Bước 3.4.3.1.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Bước 3.4.3.1.3.1.6

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Bước 3.4.3.1.3.2

Trừ $y x$ khỏi $- x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.3.2.1

Di chuyển $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Bước 3.4.3.1.3.2.2

Trừ $x y$ khỏi $- x y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Vì $y$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4 y - 4$

Bước 3.5.2

Trừ $4 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y = - 4$

Bước 3.5.3

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y + 4 = 0$

Bước 3.5.4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.5.5

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2 x - 4$ , và $c = x^{2} + 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- (- 2 x - 4) \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.5

Giả sử $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.5.1

Viết lại ${(- 2 x - 4)}^{2}$ ở dạng $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.5.2

Khai triển $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.5.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.5.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.5.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.5.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.5.3.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.5.3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.5.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.5.3.1.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.5.3.1.4

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.5.3.1.5

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.5.3.1.6

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.5.3.2

Cộng $8 x$ và $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.6

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.6.2

Đưa $4$ ra ngoài $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.6.3

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.6.4

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.6.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.6.6

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.6.7

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.8.1.1

Nhân $x^{2} + 4$ với $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.8.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.8.1.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.8.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.8.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.8.2.2

Cộng $4 x + 4$ và $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.8.2.3

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.8.2.4

Cộng $4 x$ và $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.9

Nhân $4$ với $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.10

Viết lại $16 x$ ở dạng ${(2^{2})}^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.10.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.10.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.11

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.12

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Bước 3.5.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.5

Giả sử $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1.5.1

Viết lại ${(- 2 x - 4)}^{2}$ ở dạng $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.5.2

Khai triển $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1.5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.5.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.5.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.5.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1.5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1.5.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.5.3.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1.5.3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.5.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.5.3.1.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.5.3.1.4

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.5.3.1.5

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.5.3.1.6

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.5.3.2

Cộng $8 x$ và $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.6

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.6.2

Đưa $4$ ra ngoài $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.6.3

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.6.4

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.6.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.6.6

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.6.7

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1.8.1.1

Nhân $x^{2} + 4$ với $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.8.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.8.1.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.8.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1.8.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.8.2.2

Cộng $4 x + 4$ và $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.8.2.3

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.8.2.4

Cộng $4 x$ và $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.9

Nhân $4$ với $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.10

Viết lại $16 x$ ở dạng ${(2^{2})}^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1.10.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.10.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.11

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.12

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Bước 3.5.7.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = \frac{2 x + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Bước 3.5.7.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2 x + 4 + 4 \sqrt{x}$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Bước 3.5.7.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Bước 3.5.7.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 4 \sqrt{x}}{2}$

Bước 3.5.7.4.4

Đưa $2$ ra ngoài $4 \sqrt{x}$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})}{2}$

Bước 3.5.7.4.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})$ .

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2}$

Bước 3.5.7.4.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

Bước 3.5.7.4.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.4.6.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x + 2 + 2 \sqrt{x}}{1}$

Bước 3.5.7.4.6.4

Chia $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ cho $1$ .

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

Bước 3.5.8

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.5

Giả sử $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.1.5.1

Viết lại ${(- 2 x - 4)}^{2}$ ở dạng $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.5.2

Khai triển $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.1.5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.5.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.5.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.5.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.1.5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.1.5.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.5.3.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.1.5.3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.5.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.5.3.1.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.5.3.1.4

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.5.3.1.5

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.5.3.1.6

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.5.3.2

Cộng $8 x$ và $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.6

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.6.2

Đưa $4$ ra ngoài $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.6.3

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.6.4

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.6.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.6.6

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.6.7

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.1.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.1.8.1.1

Nhân $x^{2} + 4$ với $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.8.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.8.1.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.8.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.1.8.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.8.2.2

Cộng $4 x + 4$ và $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.8.2.3

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.8.2.4

Cộng $4 x$ và $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.9

Nhân $4$ với $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.10

Viết lại $16 x$ ở dạng ${(2^{2})}^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.1.10.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.10.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.11

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.1.12

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Bước 3.5.8.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = \frac{2 x + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Bước 3.5.8.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2 x + 4 - 4 \sqrt{x}$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Bước 3.5.8.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Bước 3.5.8.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{2 (x + 2) - 4 \sqrt{x}}{2}$

Bước 3.5.8.4.4

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 \sqrt{x}$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})}{2}$

Bước 3.5.8.4.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})$ .

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2}$

Bước 3.5.8.4.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.4.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

Bước 3.5.8.4.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.8.4.6.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x + 2 - 2 \sqrt{x}}{1}$

Bước 3.5.8.4.6.4

Chia $x + 2 - 2 \sqrt{x}$ cho $1$ .

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Bước 3.5.9

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ có là hàm ngược của $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ và $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ rồi so sánh.

Bước 5.2

Tìm miền giá trị của $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[1, \infty)$

Bước 5.3

Tìm tập xác định của $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x \geq 0$

Bước 5.3.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[0, \infty)$

Bước 5.4

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ không bằng khoảng biến thiên của $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ , nên $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ không phải là hàm ngược của $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

Không có hàm ngược

Bước 6