Đại số Ví dụ

x^{4} - 4 x^{3} + 8 x \geq 0

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x \geq 0$

Bước 1

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Bước 2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa

$x$ ra ngoài

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa

$x$ ra ngoài

$x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Bước 2.1.2

Đưa

$x$ ra ngoài

$- 4 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + 8 x = 0$

Bước 2.1.3

Đưa

$x$ ra ngoài

$8 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Bước 2.1.4

Đưa

$x$ ra ngoài

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Bước 2.1.5

Đưa

$x$ ra ngoài

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0$

Bước 2.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Phân tích

$x^{3} - 4 x^{2} + 8$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng

$\frac{p}{q}$ trong đó

$p$ là một thừa số của hằng số và

$q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Bước 2.2.1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của

$\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Bước 2.2.1.3

Thay

$2$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng

$0$ vì vậy

$2$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1

Thay

$2$ vào đa thức.

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Bước 2.2.1.3.2

Nâng

$2$ lên lũy thừa

$3$ .

$8 - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Bước 2.2.1.3.3

Nâng

$2$ lên lũy thừa

$2$ .

$8 - 4 \cdot 4 + 8$

Bước 2.2.1.3.4

Nhân

$- 4$ với

$4$ .

$8 - 16 + 8$

Bước 2.2.1.3.5

Trừ

$16$ khỏi

$8$ .

$- 8 + 8$

Bước 2.2.1.3.6

Cộng

$- 8$ và

$8$ .

$0$

Bước 2.2.1.4

Vì

$2$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho

$x - 2$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 8}{x - 2}$

Bước 2.2.1.5

Chia

$x^{3} - 4 x^{2} + 8$ cho

$x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị

$0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$8$

Bước 2.2.1.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia

$x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia

$x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$

Bước 2.2.1.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Bước 2.2.1.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong

$x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Bước 2.2.1.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Bước 2.2.1.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Bước 2.2.1.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia

$- 2 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia

$x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Bước 2.2.1.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Bước 2.2.1.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong

$- 2 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Bước 2.2.1.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$

Bước 2.2.1.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

Bước 2.2.1.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia

$- 4 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia

$x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

Bước 2.2.1.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Bước 2.2.1.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong

$- 4 x + 8$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Bước 2.2.1.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$
										$0$

Bước 2.2.1.5.16

Vì số dư là

$0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$x^{2} - 2 x - 4$

Bước 2.2.1.6

Viết

$x^{3} - 4 x^{2} + 8$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0$

Bước 2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng

$0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng

$0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Bước 4

Đặt

$x$ bằng với

$0$ .

$x = 0$

Bước 5

Đặt

$x - 2$ bằng

$0$ và giải tìm

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt

$x - 2$ bằng với

$0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 5.2

Cộng

$2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 6

Đặt

$x^{2} - 2 x - 4$ bằng

$0$ và giải tìm

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt

$x^{2} - 2 x - 4$ bằng với

$0$ .

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Bước 6.2

Giải

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$ để tìm

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6.2.2

Thay các giá trị

$a = 1$ ,

$b = - 2$ , và

$c = - 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm

$x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.1

Nâng

$- 2$ lên lũy thừa

$2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.2

Nhân

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.2.1

Nhân

$- 4$ với

$1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.2.2

Nhân

$- 4$ với

$- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.3

Cộng

$4$ và

$16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.4

Viết lại

$20$ ở dạng

$2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.4.1

Đưa

$4$ ra ngoài

$20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.4.2

Viết lại

$4$ ở dạng

$2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.2

Nhân

$2$ với

$1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Bước 6.2.3.3

Rút gọn

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Bước 6.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần

$+$ của

$\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1.1

Nâng

$- 2$ lên lũy thừa

$2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.4.1.2

Nhân

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1.2.1

Nhân

$- 4$ với

$1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.4.1.2.2

Nhân

$- 4$ với

$- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.4.1.3

Cộng

$4$ và

$16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.4.1.4

Viết lại

$20$ ở dạng

$2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1.4.1

Đưa

$4$ ra ngoài

$20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.4.1.4.2

Viết lại

$4$ ở dạng

$2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.4.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.4.2

Nhân

$2$ với

$1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Bước 6.2.4.3

Rút gọn

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Bước 6.2.4.4

Chuyển đổi

$\pm$ thành

$+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Bước 6.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần

$-$ của

$\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1.1

Nâng

$- 2$ lên lũy thừa

$2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.5.1.2

Nhân

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1.2.1

Nhân

$- 4$ với

$1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.5.1.2.2

Nhân

$- 4$ với

$- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.5.1.3

Cộng

$4$ và

$16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.5.1.4

Viết lại

$20$ ở dạng

$2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1.4.1

Đưa

$4$ ra ngoài

$20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.5.1.4.2

Viết lại

$4$ ở dạng

$2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.5.2

Nhân

$2$ với

$1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Bước 6.2.5.3

Rút gọn

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Bước 6.2.5.4

Chuyển đổi

$\pm$ thành

$-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Bước 6.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ đúng.

$x = 0, 2, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Bước 8

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 1 - \sqrt{5}$

$1 - \sqrt{5} < x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$

$x > 1 + \sqrt{5}$

Bước 9

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng

$x < 1 - \sqrt{5}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng

$x < 1 - \sqrt{5}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 9.1.2

Thay thế

$x$ bằng

$- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(- 4)}^{4} - 4 {(- 4)}^{3} + 8 (- 4) \geq 0$

Bước 9.1.3

Vế trái

$480$ lớn hơn vế phải

$0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 9.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 1$

Bước 9.2.2

Thay thế

$x$ bằng

$- 1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 8 (- 1) \geq 0$

Bước 9.2.3

Vế trái

$- 3$ nhỏ hơn vế phải

$0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 9.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng

$0 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng

$0 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1$

Bước 9.3.2

Thay thế

$x$ bằng

$1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 8 (1) \geq 0$

Bước 9.3.3

Vế trái

$5$ lớn hơn vế phải

$0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 9.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 9.4.2

Thay thế

$x$ bằng

$3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} + 8 (3) \geq 0$

Bước 9.4.3

Vế trái

$- 3$ nhỏ hơn vế phải

$0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 9.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng

$x > 1 + \sqrt{5}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng

$x > 1 + \sqrt{5}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 9.5.2

Thay thế

$x$ bằng

$6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(6)}^{4} - 4 {(6)}^{3} + 8 (6) \geq 0$

Bước 9.5.3

Vế trái

$480$ lớn hơn vế phải

$0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 9.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 1 - \sqrt{5}$ Đúng

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Sai

$0 < x < 2$ Đúng

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Sai

$x > 1 + \sqrt{5}$ Đúng

$x < 1 - \sqrt{5}$ Đúng

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Sai

$0 < x < 2$ Đúng

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Sai

$x > 1 + \sqrt{5}$ Đúng

Bước 10

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq 1 - \sqrt{5}$ hoặc

$0 \leq x \leq 2$ hoặc

$x \geq 1 + \sqrt{5}$

Bước 11

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- \infty, 1 - \sqrt{5}] \cup [0, 2] \cup [1 + \sqrt{5}, \infty)$

Bước 12