Đại số Ví dụ

$f (x) = \arcsin (\cos (x))$

Bước 1

Đặt đối số trong $\arcsin (\cos (x))$ lớn hơn hoặc bằng $- 1$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\cos (x) \geq - 1$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x \geq \arccos (- 1)$

Bước 2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- 1)$ là $π$ .

$x \geq π$

Bước 2.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - π$

Bước 2.4

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$x = π$

Bước 2.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 2.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.7

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$π < x < 3 π$

Bước 2.8

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $π < x < 3 π$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $π < x < 3 π$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 2.8.1.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\cos (6) \geq - 1$

Bước 2.8.1.3

Vế trái $0.96017028$ lớn hơn vế phải $- 1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 2.8.2

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$π < x < 3 π$ Đúng

Bước 2.9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Đặt đối số trong $\arcsin (\cos (x))$ nhỏ hơn hoặc bằng $1$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\cos (x) \leq 1$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x \leq \arccos (1)$

Bước 4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (1)$ là $0$ .

$x \leq 0$

Bước 4.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - 0$

Bước 4.4

Trừ $0$ khỏi $2 π$ .

$x = 2 π$

Bước 4.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 4.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 4.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 4.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.7

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.8

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$0 < x < 2 π$

Bước 4.9

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 2 π$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 2 π$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 4.9.1.2

Thay thế $x$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\cos (3) \leq 1$

Bước 4.9.1.3

Vế trái $- 0.98999249$ nhỏ hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 4.9.2

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$0 < x < 2 π$ Đúng

Bước 4.10

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$0 + 2 π n \leq x \leq 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Bước 7

Xác định tập xác định và khoảng biến thiên.

Tập xác định: ${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , cho mọi số nguyên $n$

Khoảng biến thiên: $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Bước 8