Đại số Ví dụ

$2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 1.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 1.1.3

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 1.2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(1 \cdot 5 + i \sqrt{3} \cdot 5) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 1.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Nhân $5$ với $1$ .

$(5 + i \sqrt{3} \cdot 5) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 1.2.5.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $i \sqrt{3}$ .

$(5 + 5 \cdot (i \sqrt{3})) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 1.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 1.4.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 1.4.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3}))$

Bước 1.4.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 1.4.5

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Bước 2

Khai triển $(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (- \frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (- \frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân $5 (- \frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.1.1.2

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2} + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{2} + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.1.3

Kết hợp $5$ và $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 (i \sqrt{3})}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.1.4

Nhân $5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - 5 i \sqrt{3} \frac{1}{2} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.1.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 5$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 5}{2} i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.1.4.3

Kết hợp $\frac{- 5}{2}$ và $i$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 5 i}{2} \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.1.4.4

Kết hợp $\frac{- 5 i}{2}$ và $\sqrt{3}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 5 i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.1.6

Nhân $5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.6.1

Kết hợp $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ và $5$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{i \sqrt{3} \cdot 5}{2} i \sqrt{3}$

Bước 3.1.6.2

Kết hợp $\frac{i \sqrt{3} \cdot 5}{2}$ và $i$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{i \sqrt{3} \cdot 5 i}{2} \sqrt{3}$

Bước 3.1.6.3

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 (i^{1} i)}{2} \sqrt{3}$

Bước 3.1.6.4

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 (i^{1} i^{1})}{2} \sqrt{3}$

Bước 3.1.6.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{1 + 1}}{2} \sqrt{3}$

Bước 3.1.6.6

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{2}}{2} \sqrt{3}$

Bước 3.1.6.7

Kết hợp $\frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{2}}{2}$ và $\sqrt{3}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{2} \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.1.6.8

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{2}$

Bước 3.1.6.9

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{2}$

Bước 3.1.6.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

Bước 3.1.6.11

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Bước 3.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.7.1

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Bước 3.1.7.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.7.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Bước 3.1.7.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Bước 3.1.7.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Bước 3.1.7.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.7.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Bước 3.1.7.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{1}}{2}$

Bước 3.1.7.2.5

Tính số mũ.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3}{2}$

Bước 3.1.7.3

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.7.3.1

Đưa dấu âm ra ngoài.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- (5 \cdot 3)}{2}$

Bước 3.1.7.3.2

Nhân $5$ với $3$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 \cdot 15}{2}$

Bước 3.1.7.3.3

Nhân $- 1$ với $15$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 15}{2}$

Bước 3.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{15}{2}$

Bước 3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 5 - 15}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.3

Trừ $15$ khỏi $- 5$ .

$\frac{- 20}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 20}{2} + \frac{0}{2}$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 20 + 0}{2}$

Bước 3.6

Cộng $- 20$ và $0$ .

$\frac{- 20}{2}$

Bước 4

Chia $- 20$ cho $2$ .

$- 10$