Đại số Ví dụ

$\log_{125} (x) < \frac{1}{3}$

Bước 1

Quy đổi bất đẳng thức thành một đẳng thức.

$\log_{125} (x) = \frac{1}{3}$

Bước 2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\log_{125} (x) = \frac{1}{3}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$125^{\frac{1}{3}} = x$

Bước 2.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại phương trình ở dạng $x = 125^{\frac{1}{3}}$ .

$x = 125^{\frac{1}{3}}$

Bước 2.2.2

Rút gọn $125^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Viết lại $125$ ở dạng $5^{3}$ .

$x = {(5^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 2.2.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 5^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = 5^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 2.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x = 5^{1}$

Bước 2.2.2.3

Tính số mũ.

$x = 5$

Bước 3

Tìm tập xác định của $\log_{125} (x) - \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt giá trị đối số trong $\log_{125} (x)$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x > 0$

Bước 3.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(0, \infty)$

Bước 4

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Bước 5

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 5.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\log_{125} (- 2) < \frac{1}{3}$

Bước 5.1.3

Xác định xem bất đẳng thức có đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Không thể giải phương trình vì nó không xác định.

$Không xác định$

Bước 5.1.3.2

Vế trái không có đáp án, điều đó có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 5.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 5$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 5$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 5.2.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\log_{125} (2) < \frac{1}{3}$

Bước 5.2.3

Vế trái $0.14355885$ nhỏ hơn vế phải $0.\overline{3}$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 5.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 5$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 5$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 8$

Bước 5.3.2

Thay thế $x$ bằng $8$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\log_{125} (8) < \frac{1}{3}$

Bước 5.3.3

Vế trái $0.43067655$ không nhỏ hơn vế phải $0.\overline{3}$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 5.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 0$ Sai

$0 < x < 5$ Đúng

$x > 5$ Sai

$x < 0$ Sai

$0 < x < 5$ Đúng

$x > 5$ Sai

Bước 6

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$0 < x < 5$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$0 < x < 5$

Ký hiệu khoảng:

$(0, 5)$

Bước 8