Đại số Ví dụ

$f (x) = {(3 x - 1)}^{3}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm giá trị của tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = 3 x - 1$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Bước 3

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{3}}{3} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ ở dạng $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C$

Bước 6.2.2

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{1}{12} u^{4} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x - 1$ .

$\frac{1}{12} {(3 x - 1)}^{4} + C$

Bước 8

Hàm số $F$ nếu được tính từ tích phân của đạo hàm của hàm số. Điều này thỏa định lý cơ bản của giải tích.

$F (x) = \frac{1}{12} \cdot {(3 x - 1)}^{4} + C$