Đại số Ví dụ

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$

Bước 1

Thay thế $<$ bằng $=$ trong $| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$ .

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | = 5 | x - 1 |$

Bước 2

Viết lại phương trình chứa giá trị tuyệt đối ở dạng bốn phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Bước 3

Sau khi rút gọn, chỉ có hai phương trình duy nhất cần giải.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Bước 4

Giải $(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn $(- 2 x + 9) (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Viết lại.

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

Bước 4.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

Bước 4.1.3

Khai triển $(- 2 x + 9) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

Bước 4.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

Bước 4.1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Bước 4.1.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Bước 4.1.4.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Bước 4.1.4.1.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Bước 4.1.4.1.3

Nhân $9$ với $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = 5 (x - 1)$

Bước 4.1.4.2

Cộng $2 x$ và $9 x$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 (x - 1)$

Bước 4.2

Rút gọn $5 (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x + 5 \cdot - 1$

Bước 4.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x - 5$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $5 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 - 5 x = - 5$

Bước 4.3.2

Trừ $5 x$ khỏi $11 x$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 = - 5$

Bước 4.4

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 + 5 = 0$

Bước 4.5

Cộng $- 9$ và $5$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Bước 4.6

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 x^{2} + 6 x - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Bước 4.6.1.2

Đưa $- 2$ ra ngoài $6 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 4 = 0$

Bước 4.6.1.3

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 4$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Bước 4.6.1.4

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 (x^{2}) - 2 (- 3 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Bước 4.6.1.5

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 (2)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Bước 4.6.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Phân tích $x^{2} - 3 x + 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $2$ và tổng của chúng là $- 3$ .

$- 2, - 1$

Bước 4.6.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- 2 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Bước 4.6.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$

Bước 4.7

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 4.8

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 4.8.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 4.9

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 4.9.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 4.10

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = 2, 1$

Bước 5

Giải $(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $(- 2 x + 9) (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại.

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Bước 5.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Bước 5.1.3

Khai triển $(- 2 x + 9) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Bước 5.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Bước 5.1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Bước 5.1.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Bước 5.1.4.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Bước 5.1.4.1.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Bước 5.1.4.1.3

Nhân $9$ với $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = - 5 (x - 1)$

Bước 5.1.4.2

Cộng $2 x$ và $9 x$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 (x - 1)$

Bước 5.2

Rút gọn $- 5 (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x - 5 \cdot - 1$

Bước 5.2.2

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x + 5$

Bước 5.3

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Cộng $5 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 + 5 x = 5$

Bước 5.3.2

Cộng $11 x$ và $5 x$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 = 5$

Bước 5.4

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 - 5 = 0$

Bước 5.5

Trừ $5$ khỏi $- 9$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

Bước 5.6

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 x^{2} + 16 x - 14$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

Bước 5.6.1.2

Đưa $- 2$ ra ngoài $16 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 14 = 0$

Bước 5.6.1.3

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 14$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

Bước 5.6.1.4

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 (x^{2}) - 2 (- 8 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

Bước 5.6.1.5

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 (7)$ .

$- 2 (x^{2} - 8 x + 7) = 0$

Bước 5.6.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Phân tích $x^{2} - 8 x + 7$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $7$ và tổng của chúng là $- 8$ .

$- 7, - 1$

Bước 5.6.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- 2 ((x - 7) (x - 1)) = 0$

Bước 5.6.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$

Bước 5.7

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 5.8

Đặt $x - 7$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Đặt $x - 7$ bằng với $0$ .

$x - 7 = 0$

Bước 5.8.2

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 7$

Bước 5.9

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 5.9.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 5.10

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = 7, 1$

Bước 6

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 2, 1, 7, 1$

Bước 7

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Bước 8

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 8.1.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$| (- 2 \cdot 0 + 9) ((0) - 1) | < 5 | (0) - 1 |$

Bước 8.1.3

Vế trái $9$ không nhỏ hơn vế phải $5$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 8.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $1 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $1 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1.5$

Bước 8.2.2

Thay thế $x$ bằng $1.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$| (- 2 \cdot 1.5 + 9) ((1.5) - 1) | < 5 | (1.5) - 1 |$

Bước 8.2.3

Vế trái $3$ không nhỏ hơn vế phải $2.5$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 8.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $2 < x < 7$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $2 < x < 7$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 8.3.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$| (- 2 \cdot 4 + 9) ((4) - 1) | < 5 | (4) - 1 |$

Bước 8.3.3

Vế trái $3$ nhỏ hơn vế phải $15$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 8.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 7$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 7$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 10$

Bước 8.4.2

Thay thế $x$ bằng $10$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$| (- 2 \cdot 10 + 9) ((10) - 1) | < 5 | (10) - 1 |$

Bước 8.4.3

Vế trái $99$ không nhỏ hơn vế phải $45$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 8.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 1$ Sai

$1 < x < 2$ Sai

$2 < x < 7$ Đúng

$x > 7$ Sai

$x < 1$ Sai

$1 < x < 2$ Sai

$2 < x < 7$ Đúng

$x > 7$ Sai

Bước 9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$2 < x < 7$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$2 < x < 7$

Ký hiệu khoảng:

$(2, 7)$

Bước 11