Đại số Ví dụ

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $x + 2 \sqrt{x - 1} = y$ .

$x + 2 \sqrt{x - 1} = y$

Bước 2

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \sqrt{x - 1} = y - x$

Bước 3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${(2 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Bước 4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x - 1}$ ở dạng ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn ${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Bước 4.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Bước 4.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

Bước 4.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

Bước 4.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$4 {(x - 1)}^{1} = {(y - x)}^{2}$

Bước 4.2.1.4

Rút gọn.

$4 (x - 1) = {(y - x)}^{2}$

Bước 4.2.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 x + 4 \cdot - 1 = {(y - x)}^{2}$

Bước 4.2.1.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$4 x - 4 = {(y - x)}^{2}$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn ${(y - x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Viết lại ${(y - x)}^{2}$ ở dạng $(y - x) (y - x)$ .

$4 x - 4 = (y - x) (y - x)$

Bước 4.3.1.2

Khai triển $(y - x) (y - x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 x - 4 = y (y - x) - x (y - x)$

Bước 4.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x (y - x)$

Bước 4.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x y - x (- x)$

Bước 4.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.3.1.1

Nhân $y$ với $y$ .

$4 x - 4 = y^{2} + y (- x) - x y - x (- x)$

Bước 4.3.1.3.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - x (- x)$

Bước 4.3.1.3.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Bước 4.3.1.3.1.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.3.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Bước 4.3.1.3.1.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Bước 4.3.1.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + 1 x^{2}$

Bước 4.3.1.3.1.6

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + x^{2}$

Bước 4.3.1.3.2

Trừ $x y$ khỏi $- y x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.3.2.1

Di chuyển $y$ .

$4 x - 4 = y^{2} - x y - x y + x^{2}$

Bước 4.3.1.3.2.2

Trừ $x y$ khỏi $- x y$ .

$4 x - 4 = y^{2} - 2 x y + x^{2}$

Bước 5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $x$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} = 4 x - 4$

Bước 5.2

Trừ $4 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x = - 4$

Bước 5.3

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Bước 5.4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 5.5

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2 y - 4$ , và $c = y^{2} + 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- (- 2 y - 4) \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{- (- 2 y) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.5

Giả sử $u = 1 \cdot (y^{2} + 4)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $1 \cdot (y^{2} + 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.5.1

Viết lại ${(- 2 y - 4)}^{2}$ ở dạng $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{(- 2 y - 4) (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.5.2

Khai triển $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 4) - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.5.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.5.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.5.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.5.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.5.3.1.2

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.5.3.1.2.1

Di chuyển $y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.5.3.1.2.2

Nhân $y$ với $y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.5.3.1.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.5.3.1.4

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.5.3.1.5

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.5.3.1.6

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.5.3.2

Cộng $8 y$ và $8 y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.6

Đưa $4$ ra ngoài $4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.6.2

Đưa $4$ ra ngoài $16 y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.6.3

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.6.4

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 u$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.6.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 (y^{2}) + 4 (4 y)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.6.6

Đưa $4$ ra ngoài $4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.6.7

Đưa $4$ ra ngoài $4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 \cdot (y^{2} + 4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (1 \cdot (y^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.8.1.1

Nhân $y^{2} + 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.8.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.8.1.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.8.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.8.2.1

Trừ $y^{2}$ khỏi $y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.8.2.2

Cộng $4 y + 4$ và $0$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.8.2.3

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 0)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.8.2.4

Cộng $4 y$ và $0$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 y)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.9

Nhân $4$ với $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{16 y}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.10

Viết lại $16 y$ ở dạng ${(2^{2})}^{2} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.10.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4^{2} y}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.10.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} y}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.11

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 y + 4 \pm 2^{2} \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.1.12

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2}$

Bước 5.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$