Đại số Ví dụ

$\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} > \sqrt{3}$

Bước 1

Cộng $\sqrt{c}$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$\sqrt{c + 9} > \sqrt{3} + \sqrt{c}$

Bước 2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${\sqrt{c + 9}}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Bước 3

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{c + 9}$ ở dạng ${(c + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn ${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(c + 9)}^{1} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Bước 3.2.1.2

Rút gọn.

$c + 9 > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn ${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại ${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ ở dạng $(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ .

$c + 9 > (\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Bước 3.3.1.2

Khai triển $(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$c + 9 > \sqrt{3} (\sqrt{3} + \sqrt{c}) + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Bước 3.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Bước 3.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Bước 3.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$c + 9 > \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Bước 3.3.1.3.1.2

Nhân $3$ với $3$ .

$c + 9 > \sqrt{9} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Bước 3.3.1.3.1.3

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$c + 9 > \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Bước 3.3.1.3.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Bước 3.3.1.3.1.5

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Bước 3.3.1.3.1.6

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Bước 3.3.1.3.1.7

Nhân $\sqrt{c} \sqrt{c}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1.7.1

Nâng $\sqrt{c}$ lên lũy thừa $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} \sqrt{c}$

Bước 3.3.1.3.1.7.2

Nâng $\sqrt{c}$ lên lũy thừa $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} {\sqrt{c}}^{1}$

Bước 3.3.1.3.1.7.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1 + 1}$

Bước 3.3.1.3.1.7.4

Cộng $1$ và $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{2}$

Bước 3.3.1.3.1.8

Viết lại ${\sqrt{c}}^{2}$ ở dạng $c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1.8.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{c}$ ở dạng $c^{\frac{1}{2}}$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 3.3.1.3.1.8.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 3.3.1.3.1.8.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

Bước 3.3.1.3.1.8.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1.8.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

Bước 3.3.1.3.1.8.4.2

Viết lại biểu thức.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{1}$

Bước 3.3.1.3.1.8.5

Rút gọn.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c$

Bước 3.3.1.3.2

Cộng $\sqrt{3 c}$ và $\sqrt{c \cdot 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.2.1

Sắp xếp lại $c$ và $3$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{3 \cdot c} + c$

Bước 3.3.1.3.2.2

Cộng $\sqrt{3 c}$ và $\sqrt{3 \cdot c}$ .

$c + 9 > 3 + 2 \sqrt{3 c} + c$

Bước 4

Giải tìm $2 \sqrt{3 c}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại để $2 \sqrt{3 c}$ nằm ở vế trái của bất đẳng thức.

$3 + 2 \sqrt{3 c} + c < c + 9$

Bước 4.2

Chuyển tất cả các số hạng không chứa $2 \sqrt{3 c}$ sang vế phải của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$2 \sqrt{3 c} + c < c + 9 - 3$

Bước 4.2.2

Trừ $c$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$2 \sqrt{3 c} < c + 9 - 3 - c$

Bước 4.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $c + 9 - 3 - c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Trừ $c$ khỏi $c$ .

$2 \sqrt{3 c} < 0 + 9 - 3$

Bước 4.2.3.2

Cộng $0$ và $9$ .

$2 \sqrt{3 c} < 9 - 3$

Bước 4.2.4

Trừ $3$ khỏi $9$ .

$2 \sqrt{3 c} < 6$

Bước 5

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${(2 \sqrt{3 c})}^{2} < 6^{2}$

Bước 6

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 c}$ ở dạng ${(3 c)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn ${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 c$ .

${(2 (3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}))}^{2} < 6^{2}$

Bước 6.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Bước 6.2.1.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Bước 6.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Bước 6.2.1.4

Nhân các số mũ trong ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Bước 6.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Bước 6.2.1.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$4 \cdot 3^{1} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Bước 6.2.1.5

Tính số mũ.

$4 \cdot 3 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Bước 6.2.1.6

Nhân $4$ với $3$ .

$12 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Bước 6.2.1.7

Nhân các số mũ trong ${(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

Bước 6.2.1.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

Bước 6.2.1.7.2.2

Viết lại biểu thức.

$12 c^{1} < 6^{2}$

Bước 6.2.1.8

Rút gọn.

$12 c < 6^{2}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$12 c < 36$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $12 c < 36$ cho $12$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $12 c < 36$ cho $12$ .

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

Bước 7.2.1.2

Chia $c$ cho $1$ .

$c < \frac{36}{12}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Chia $36$ cho $12$ .

$c < 3$

Bước 8

Tìm tập xác định của $\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} - \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{c + 9}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$c + 9 \geq 0$

Bước 8.2

Trừ $9$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$c \geq - 9$

Bước 8.3

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{c}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$c \geq 0$

Bước 8.4

Tập xác định là tất cả các giá trị của $c$ và làm cho biểu thức xác định.

$[0, \infty)$

Bước 9

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$c < 0$

$0 < c < 3$

$c > 3$

Bước 10

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $c < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $c < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$c = - 2$

Bước 10.1.2

Thay thế $c$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sqrt{(- 2) + 9} - \sqrt{- 2} > \sqrt{3}$

Bước 10.1.3

Vế trái không bằng vế phải, điều đó có nghĩa là câu đã cho là sai.

Sai

Bước 10.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < c < 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < c < 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$c = 2$

Bước 10.2.2

Thay thế $c$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sqrt{(2) + 9} - \sqrt{2} > \sqrt{3}$

Bước 10.2.3

Vế trái $1.90241122$ lớn hơn vế phải $1.7320508$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 10.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $c > 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $c > 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$c = 6$

Bước 10.3.2

Thay thế $c$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sqrt{(6) + 9} - \sqrt{6} > \sqrt{3}$

Bước 10.3.3

Vế trái $1.4234936$ không lớn hơn vế phải $1.7320508$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 10.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$c < 0$ Sai

$0 < c < 3$ Đúng

$c > 3$ Sai

$c < 0$ Sai

$0 < c < 3$ Đúng

$c > 3$ Sai

Bước 11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$0 < c < 3$

Bước 12