Đại số Ví dụ

$y = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$ .

${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{y - 1}}{2^{y - 1}} + 2 = x$

Bước 2.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2^{y - 1}} + 2 = x$

Bước 2.3

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{1}{2^{y - 1}} = x - 2$

Bước 2.4

Nhân cả hai vế của phương trình với $2^{y - 1}$ .

$1 = 2^{y - 1} (x - 2)$

Bước 2.5

Viết lại phương trình ở dạng $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ .

$2^{y - 1} (x - 2) = 1$

Bước 2.6

Chia mỗi số hạng trong $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ cho $x - 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Chia mỗi số hạng trong $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ cho $x - 2$ .

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

Bước 2.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

Bước 2.6.2.1.2

Chia $2^{y - 1}$ cho $1$ .

$2^{y - 1} = \frac{1}{x - 2}$

Bước 2.7

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Bước 2.8

Khai triển $\ln (2^{y - 1})$ bằng cách di chuyển $y - 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Bước 2.9

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Rút gọn $(y - 1) \ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Bước 2.9.1.2

Viết lại $- 1 \ln (2)$ ở dạng $- \ln (2)$ .

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Bước 2.10

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = 0$

Bước 2.11

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Cộng $\ln (2)$ cho cả hai vế của phương trình.

$y \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = \ln (2)$

Bước 2.11.2

Cộng $\ln (\frac{1}{x - 2})$ cho cả hai vế của phương trình.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$

Bước 2.12

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ cho $\ln (2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ cho $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Bước 2.12.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Bước 2.12.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Bước 2.12.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Bước 2.12.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ có là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$

Bước 4.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 0})}{\ln (2)}$

Bước 4.2.3.2

Cộng ${(\frac{1}{2})}^{x - 1}$ và $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1}})}{\ln (2)}$

Bước 4.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1^{x - 1}}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

Bước 4.2.4.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

Bước 4.2.4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Bước 4.2.4.2.2

Nhân $2^{x - 1}$ với $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Bước 4.2.4.3

Khai triển $\ln (2^{x - 1})$ bằng cách di chuyển $x - 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Bước 4.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Bước 4.2.4.4.2

Chia $x - 1$ cho $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + x - 1$

Bước 4.2.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 + x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x + 0$

Bước 4.2.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$

Bước 4.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong ${(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{0 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

Bước 4.3.3.2

Cộng $0$ và $\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

Bước 4.3.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

Bước 4.3.4.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

Bước 4.3.4.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.3.1

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (\frac{1}{x - 2})}} + 2$

Bước 4.3.4.3.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

Bước 4.3.4.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = 1 (x - 2) + 2$

Bước 4.3.4.5

Nhân $x - 2$ với $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x - 2 + 2$

Bước 4.3.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x + 0$

Bước 4.3.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$