Đại số Ví dụ

1 = \cot^{2} (x) + \csc (x)

$1 = \cot^{2} (x) + \csc (x)$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng

\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1

$\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$ .

\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1

$\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$

Bước 2

Thay thế

\cot^{2} (x)

$\cot^{2} (x)$ bằng

\csc^{2} (x) - 1

$\csc^{2} (x) - 1$ dựa trên đẳng thức

\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)

$\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

(\csc^{2} (x) - 1) + \csc (x) = 1

$(\csc^{2} (x) - 1) + \csc (x) = 1$

Bước 3

Sắp xếp lại đa thức.

\csc^{2} (x) + \csc (x) - 1 = 1

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 1 = 1$

Bước 4

Thay

u

$u$ bằng

\csc (x)

$\csc (x)$ .

{(u)}^{2} + u - 1 = 1

${(u)}^{2} + u - 1 = 1$

Bước 5

Trừ

1

$1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

u^{2} + u - 1 - 1 = 0

$u^{2} + u - 1 - 1 = 0$

Bước 6

Trừ

1

$1$ khỏi

- 1

$- 1$ .

u^{2} + u - 2 = 0

$u^{2} + u - 2 = 0$

Bước 7

Phân tích

u^{2} + u - 2

$u^{2} + u - 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Xét dạng

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là

c

$c$ và tổng của chúng là

b

$b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là

- 2

$- 2$ và tổng của chúng là

1

$1$ .

- 1, 2

$- 1, 2$

Bước 7.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

(u - 1) (u + 2) = 0

$(u - 1) (u + 2) = 0$

(u - 1) (u + 2) = 0

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Bước 8

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng

0

$0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng

0

$0$ .

u - 1 = 0

$u - 1 = 0$

u + 2 = 0

$u + 2 = 0$

Bước 9

Đặt

u - 1

$u - 1$ bằng

0

$0$ và giải tìm

u

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt

u - 1

$u - 1$ bằng với

0

$0$ .

u - 1 = 0

$u - 1 = 0$

Bước 9.2

Cộng

1

$1$ cho cả hai vế của phương trình.

u = 1

$u = 1$

u = 1

$u = 1$

Bước 10

Đặt

u + 2

$u + 2$ bằng

0

$0$ và giải tìm

u

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt

u + 2

$u + 2$ bằng với

0

$0$ .

u + 2 = 0

$u + 2 = 0$

Bước 10.2

Trừ

2

$2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

u = - 2

$u = - 2$

u = - 2

$u = - 2$

Bước 11

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho

(u - 1) (u + 2) = 0

$(u - 1) (u + 2) = 0$ đúng.

u = 1, - 2

$u = 1, - 2$

Bước 12

Thay

\csc (x)

$\csc (x)$ bằng

u

$u$ .

\csc (x) = 1, - 2

$\csc (x) = 1, - 2$

Bước 13

Lập từng đáp án để giải tìm

x

$x$ .

\csc (x) = 1

$\csc (x) = 1$

\csc (x) = - 2

$\csc (x) = - 2$

Bước 14

Giải tìm

x

$x$ trong

\csc (x) = 1

$\csc (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất

x

$x$ từ bên trong cosecant.

x = arccsc (1)

$x = arccsc (1)$

Bước 14.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Giá trị chính xác của

arccsc (1)

$arccsc (1)$ là

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Bước 14.3

Hàm cosecant dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu từ

π

$π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

x = π - \frac{π}{2}

$x = π - \frac{π}{2}$

Bước 14.4

Rút gọn

π - \frac{π}{2}

$π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Để viết

π

$π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 14.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.1

Kết hợp

π

$π$ và

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 14.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 14.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.3.1

Di chuyển

2

$2$ sang phía bên trái của

π

$π$ .

x = \frac{2 \cdot π - π}{2}

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Bước 14.4.3.2

Trừ

π

$π$ khỏi

2 π

$2 π$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Bước 14.5

Tìm chu kỳ của

\csc (x)

$\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 14.5.2

Thay thế

b

$b$ với

1

$1$ trong công thức cho chu kỳ.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 14.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa

0

$0$ và

1

$1$ là

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Bước 14.5.4

Chia

2 π

$2 π$ cho

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Bước 14.6

Chu kỳ của hàm

\csc (x)

$\csc (x)$ là

2 π

$2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi

2 π

$2 π$ radian theo cả hai hướng.

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên

n

$n$

Bước 15

Giải tìm

x

$x$ trong

\csc (x) = - 2

$\csc (x) = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất

x

$x$ từ bên trong cosecant.

x = arccsc (- 2)

$x = arccsc (- 2)$

Bước 15.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Giá trị chính xác của

arccsc (- 2)

$arccsc (- 2)$ là

- \frac{π}{6}

$- \frac{π}{6}$ .

x = - \frac{π}{6}

$x = - \frac{π}{6}$

x = - \frac{π}{6}

$x = - \frac{π}{6}$

Bước 15.3

Hàm cosecant âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi

2 π

$2 π$ , để tìm góc quy chiếu. Tiếp theo, cộng góc quy chiếu này vào

π

$π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

x = 2 π + \frac{π}{6} + π

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Bước 15.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Trừ

2 π

$2 π$ khỏi

2 π + \frac{π}{6} + π

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Bước 15.4.2

Góc tìm được

\frac{7 π}{6}

$\frac{7 π}{6}$ dương, nhỏ hơn

2 π

$2 π$ , và có chung cạnh cuối với

2 π + \frac{π}{6} + π

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

Bước 15.5

Tìm chu kỳ của

\csc (x)

$\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 15.5.2

Thay thế

b

$b$ với

1

$1$ trong công thức cho chu kỳ.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 15.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa

0

$0$ và

1

$1$ là

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Bước 15.5.4

Chia

2 π

$2 π$ cho

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Bước 15.6

Cộng

2 π

$2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.1

Cộng

2 π

$2 π$ vào

- \frac{π}{6}

$- \frac{π}{6}$ để tìm góc dương.

- \frac{π}{6} + 2 π

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Bước 15.6.2

Để viết

2 π

$2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 15.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.3.1

Kết hợp

2 π

$2 π$ và

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 15.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 15.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.4.1

Nhân

6

$6$ với

2

$2$ .

\frac{12 π - π}{6}

$\frac{12 π - π}{6}$

Bước 15.6.4.2

Trừ

π

$π$ khỏi

12 π

$12 π$ .

\frac{11 π}{6}

$\frac{11 π}{6}$

\frac{11 π}{6}

$\frac{11 π}{6}$

Bước 15.6.5

Liệt kê các góc mới.

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

Bước 15.7

Chu kỳ của hàm

\csc (x)

$\csc (x)$ là

2 π

$2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi

2 π

$2 π$ radian theo cả hai hướng.

x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên

n

$n$

x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên

n

$n$

Bước 16

Liệt kê tất cả các đáp án.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên

n

$n$

Bước 17

Hợp nhất các câu trả lời.

x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên

n

$n$