Đại số Ví dụ

$1 = \cot^{2} (x) + \csc (x)$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$ .

$\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$

Bước 2

Thay thế $\cot^{2} (x)$ bằng $\csc^{2} (x) - 1$ dựa trên đẳng thức $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + \csc (x) = 1$

Bước 3

Sắp xếp lại đa thức.

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 1 = 1$

Bước 4

Thay $u$ bằng $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} + u - 1 = 1$

Bước 5

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u^{2} + u - 1 - 1 = 0$

Bước 6

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Bước 7

Phân tích $u^{2} + u - 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 2$ và tổng của chúng là $1$ .

$- 1, 2$

Bước 7.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Bước 8

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Bước 9

Đặt $u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt $u - 1$ bằng với $0$ .

$u - 1 = 0$

Bước 9.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 1$

Bước 10

Đặt $u + 2$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt $u + 2$ bằng với $0$ .

$u + 2 = 0$

Bước 10.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 2$

Bước 11

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u - 1) (u + 2) = 0$ đúng.

$u = 1, - 2$

Bước 12

Thay $\csc (x)$ bằng $u$ .

$\csc (x) = 1, - 2$

Bước 13

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 2$

Bước 14

Giải tìm $x$ trong $\csc (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong cosecant.

$x = arccsc (1)$

Bước 14.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Giá trị chính xác của $arccsc (1)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 14.3

Hàm cosecant dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{π}{2}$

Bước 14.4

Rút gọn $π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 14.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 14.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 14.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Bước 14.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 14.5

Tìm chu kỳ của $\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 14.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 14.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 14.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 14.6

Chu kỳ của hàm $\csc (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 15

Giải tìm $x$ trong $\csc (x) = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong cosecant.

$x = arccsc (- 2)$

Bước 15.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Giá trị chính xác của $arccsc (- 2)$ là $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Bước 15.3

Hàm cosecant âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc quy chiếu. Tiếp theo, cộng góc quy chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Bước 15.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Bước 15.4.2

Góc tìm được $\frac{7 π}{6}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Bước 15.5

Tìm chu kỳ của $\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 15.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 15.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 15.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 15.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{6}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Bước 15.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 15.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 15.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 15.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.4.1

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Bước 15.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Bước 15.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{11 π}{6}$

Bước 15.7

Chu kỳ của hàm $\csc (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 16

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 17

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$