Đại số Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}) = 2 x$

Bước 3.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{2 y + 1}$ .

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

Bước 3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

Bước 3.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{2 y + 1} = 2 x$

Bước 3.4

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{2 y + 1}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Bước 3.5

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 y + 1}$ ở dạng ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Rút gọn ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Bước 3.5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Bước 3.5.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(2 y + 1)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Bước 3.5.2.1.2

Rút gọn.

$2 y + 1 = {(2 x)}^{2}$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Rút gọn ${(2 x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x$ .

$2 y + 1 = 2^{2} x^{2}$

Bước 3.5.3.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$2 y + 1 = 4 x^{2}$

Bước 3.6

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y = 4 x^{2} - 1$

Bước 3.6.2

Chia mỗi số hạng trong $2 y = 4 x^{2} - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = 4 x^{2} - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 3.6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 3.6.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 3.6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.3.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 3.6.2.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.3.1.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} + \frac{- 1}{2}$

Bước 3.6.2.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} + \frac{- 1}{2}$

Bước 3.6.2.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 1}{2}$

Bước 3.6.2.3.1.1.2.4

Chia $2 x^{2}$ cho $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 3.6.2.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})}^{2} - \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{\sqrt{2 x + 1}}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.3

Viết lại ${\sqrt{2 x + 1}}^{2}$ ở dạng $2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 x + 1}$ ở dạng ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.3.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{4}) - \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 (2)}) - \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 \cdot 2}) - \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.5.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 5.2.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

Bước 5.2.4.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Bước 5.2.4.2.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.4.3.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (2 x^{2} - \frac{1}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2} - \frac{1}{2}) + 1}$

Bước 5.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

Bước 5.3.4

Nhân $2$ với $2$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

Bước 5.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

Bước 5.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

Bước 5.3.5.3

Viết lại biểu thức.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} - 1 + 1}$

Bước 5.3.6

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 0}$

Bước 5.3.6.2

Cộng $4 x^{2}$ và $0$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2}}$

Bước 5.3.7

Viết lại $4 x^{2}$ ở dạng ${(2 x)}^{2}$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(2 x)}^{2}}$

Bước 5.3.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Bước 5.3.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Bước 5.3.9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Bước 5.3.9.3

Viết lại biểu thức.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$