Đại số Ví dụ

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1

Tìm nơi biểu thức $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ không xác định.

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 2

Các tiệm cận đứng xảy ra tại các khu vực của điểm gián đoạn vô cùng.

Không có các tiệm cận đứng

Bước 3

Tính $lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ để tìm tiệm cận ngang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 1}$ ở dạng ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Bước 3.1.2

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 1}$

Bước 3.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Nhân với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Bước 3.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Bước 3.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Bước 3.1.3.4

Chia $x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.1.4

Di chuyển ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.2

Viết lại ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 3.3

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.4.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.4.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.4.5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.4.6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.4.7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Bước 3.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

Bước 3.6.1.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{1}{1}$

Bước 3.6.2

Chia $1$ cho $1$ .

$1$

Bước 4

Tính $lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ để tìm tiệm cận ngang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 1}$ ở dạng ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Bước 4.1.2

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 1}$

Bước 4.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Nhân với $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Bước 4.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Bước 4.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Bước 4.1.3.4

Chia $x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$lim_{x \to - \infty} x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 4.1.4

Di chuyển ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.2

Viết lại ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 4.3

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4.4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4.4.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4.4.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4.4.5

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4.4.6

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4.4.7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4.4.8

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4.5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0}}$

Bước 4.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 0}}$

Bước 4.6.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Bước 4.6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Cộng $1$ và $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1}}$

Bước 4.6.2.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$- \frac{1}{1}$

Bước 4.6.3

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{1}$

Bước 4.6.3.2

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 1$

Bước 4.6.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 5

Liệt kê các tiệm cận ngang:

$y = 1, - 1$

Bước 6

Sử dụng phép chia đa thức để tìm các tiệm cận xiên. Vì biểu thức này chứa một dấu căn, nên không thực hiện được phép chia đa thức.

Không tìm được các tiệm cận xiên

Bước 7

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Không có các tiệm cận đứng

Các tiệm cận ngang: $y = 1, - 1$

Không tìm được các tiệm cận xiên

Bước 8