Đại số Ví dụ

What is the inverse function of the $f (x) = \frac{3 x + 1}{5}$ ?

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{3 x + 1}{5}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{3 x + 1}{5}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{3 y + 1}{5}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{3 y + 1}{5} = x$ .

$\frac{3 y + 1}{5} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế với $5$ .

$\frac{3 y + 1}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y + 1}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Bước 3.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 y + 1 = x \cdot 5$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x$ .

$3 y + 1 = 5 x$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y = 5 x - 1$

Bước 3.4.2

Chia mỗi số hạng trong $3 y = 5 x - 1$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y = 5 x - 1$ cho $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Bước 3.4.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Bước 3.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{3 x + 1}{5}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{5 (\frac{3 x + 1}{5})}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{5 (\frac{3 x + 1}{5}) - 1}{3}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{5 (\frac{3 x + 1}{5}) - 1}{3}$

Bước 5.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{3 x + 1 - 1}{3}$

Bước 5.2.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Bước 5.2.5.2

Cộng $3 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{3 x}{3}$

Bước 5.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{3 x}{3}$

Bước 5.2.6.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{3 (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) + 1}{5}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{3 (\frac{5 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3}) + 1}{5}$

Bước 5.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{3 (\frac{5 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3}) + 1}{5}$

Bước 5.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x + 3 (- \frac{1}{3}) + 1}{5}$

Bước 5.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{3}$ vào tử số.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x + 3 (\frac{- 1}{3}) + 1}{5}$

Bước 5.3.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x + 3 (\frac{- 1}{3}) + 1}{5}$

Bước 5.3.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x - 1 + 1}{5}$

Bước 5.3.3.4

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Bước 5.3.3.5

Cộng $5 x$ và $0$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x}{5}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x}{5}$

Bước 5.3.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{3 x + 1}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}$