Đại số Ví dụ

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{2 y + 1}{y - 1}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân phương trình với $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn $(y - 1) (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y x - 1 x = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Bước 2.2.1.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y x - x = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y x - x = \frac{2 y + 1}{y - 1} (y - 1)$

Bước 2.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y x - x = 2 y + 1$

Bước 2.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Trừ $2 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x - x - 2 y = 1$

Bước 2.4.2

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y x - 2 y = 1 + x$

Bước 2.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x - 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$y (x) - 2 y = 1 + x$

Bước 2.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 1 + x$

Bước 2.4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 1 + x$

Bước 2.4.4

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 2) = 1 + x$ cho $x - 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 2) = 1 + x$ cho $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

Bước 2.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

Bước 2.4.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

Bước 2.4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{1 + x}{x - 2}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{(\frac{2 x + 1}{x - 1}) - 2}$

Bước 4.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{(\frac{2 x + 1}{x - 1}) - 2}$

Bước 4.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Nhân $\frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2}$ với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2}$

Bước 4.2.4.2

Kết hợp.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2)}$

Bước 4.2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 4.2.6

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 4.2.6.1.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 4.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 4.2.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 4.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + 2 x + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 4.2.7.2

Cộng $x$ và $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x - 1 + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 4.2.7.3

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x + 0}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 4.2.7.4

Cộng $3 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 4.2.8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

Bước 4.2.8.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

Bước 4.2.8.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 \cdot x + 2}$

Bước 4.2.8.4

Trừ $2 x$ khỏi $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{0 + 1 + 2}$

Bước 4.2.8.5

Cộng $0$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{1 + 2}$

Bước 4.2.8.6

Cộng $1$ và $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

Bước 4.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

Bước 4.2.9.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{1 + x}{x - 2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 2}) - 1}$

Bước 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân $\frac{2 \frac{1 + x}{x - 2} + 1}{\frac{1 + x}{x - 2} - 1}$ với $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1}{\frac{1 + x}{x - 2} - 1}$

Bước 4.3.3.2

Kết hợp.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1)}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2} - 1)}$

Bước 4.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

Bước 4.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

Bước 4.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Bước 4.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Đưa $x - 2$ ra ngoài $(x - 2) \cdot 2 \frac{1 + x}{x - 2} + (x - 2) \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1.1

Đưa $x - 2$ ra ngoài $(x - 2) \cdot 2 \frac{1 + x}{x - 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Bước 4.3.6.1.2

Đưa $x - 2$ ra ngoài $(x - 2) \cdot 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) (1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Bước 4.3.6.1.3

Đưa $x - 2$ ra ngoài $(x - 2) (2 \frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) (1)$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Bước 4.3.6.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1 + x}{x - 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x)}{x - 2} + 1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Bước 4.3.6.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x)}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Bước 4.3.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x) + x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Bước 4.3.6.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (1 + x) - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Bước 4.3.6.6

Viết lại $\frac{x + 2 (1 + x) - 2}{x - 2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 \cdot 1 + 2 x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Bước 4.3.6.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 + 2 x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Bước 4.3.6.6.3

Cộng $x$ và $2 x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 2 - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Bước 4.3.6.6.4

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 0}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Bước 4.3.6.6.5

Cộng $3 x$ và $0$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Bước 4.3.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x + x \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}$

Bước 4.3.7.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - 1 \cdot x - 2 \cdot - 1}$

Bước 4.3.7.3

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - 1 \cdot x + 2}$

Bước 4.3.7.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - x + 2}$

Bước 4.3.7.5

Cộng $1$ và $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{x - x + 3}$

Bước 4.3.7.6

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{0 + 3}$

Bước 4.3.7.7

Cộng $0$ và $3$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{3}$

Bước 4.3.8

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.8.1

Đưa $\frac{3 x}{x - 2}$ ra ngoài $\frac{(x - 2) \frac{3 x}{x - 2}}{3}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

Bước 4.3.8.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.8.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

Bước 4.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

Bước 4.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Bước 4.3.8.3

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Bước 4.3.8.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$