Đại số Ví dụ

$\sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt[3]{64 a^{3}}$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$ .

$\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$

Bước 2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{64 a^{3}}}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Bước 3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{64 a^{3}}$ ở dạng ${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(64 a^{3})}^{1} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Bước 3.2.1.2

Rút gọn.

$64 a^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn ${\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 12^{2}}}^{3}$

Bước 3.3.1.2

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 144}}^{3}$

Bước 3.3.1.3

Cộng $25$ và $144$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{169}}^{3}$

Bước 3.3.1.4

Viết lại $169$ ở dạng $13^{2}$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{13^{2}}}^{3}$

Bước 3.3.1.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$64 a^{3} = 13^{3}$

Bước 3.3.1.6

Nâng $13$ lên lũy thừa $3$ .

$64 a^{3} = 2197$

Bước 4

Giải tìm $a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $2197$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$64 a^{3} - 2197 = 0$

Bước 4.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $64 a^{3}$ ở dạng ${(4 a)}^{3}$ .

${(4 a)}^{3} - 2197 = 0$

Bước 4.2.2

Viết lại $2197$ ở dạng $13^{3}$ .

${(4 a)}^{3} - 13^{3} = 0$

Bước 4.2.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 4 a$ và $b = 13$ .

$(4 a - 13) ({(4 a)}^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Bước 4.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 a$ .

$(4 a - 13) (4^{2} a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Bước 4.2.4.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Bước 4.2.4.3

Nhân $13$ với $4$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 13^{2}) = 0$

Bước 4.2.4.4

Nâng $13$ lên lũy thừa $2$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$

Bước 4.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$4 a - 13 = 0$

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

Bước 4.4

Đặt $4 a - 13$ bằng $0$ và giải tìm $a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đặt $4 a - 13$ bằng với $0$ .

$4 a - 13 = 0$

Bước 4.4.2

Giải $4 a - 13 = 0$ để tìm $a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Cộng $13$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 a = 13$

Bước 4.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 a = 13$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 a = 13$ cho $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

Bước 4.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

Bước 4.4.2.2.2.1.2

Chia $a$ cho $1$ .

$a = \frac{13}{4}$

Bước 4.5

Đặt $16 a^{2} + 52 a + 169$ bằng $0$ và giải tìm $a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đặt $16 a^{2} + 52 a + 169$ bằng với $0$ .

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

Bước 4.5.2

Giải $16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$ để tìm $a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 4.5.2.2

Thay các giá trị $a = 16$ , $b = 52$ , và $c = 169$ vào công thức bậc hai và giải tìm $a$ .

$\frac{- 52 \pm \sqrt{52^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 169)}}{2 \cdot 16}$

Bước 4.5.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.3.1.1

Nâng $52$ lên lũy thừa $2$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 4 \cdot 16 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

Bước 4.5.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 16 \cdot 169$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $16$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 64 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

Bước 4.5.2.3.1.2.2

Nhân $- 64$ với $169$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 10816}}{2 \cdot 16}$

Bước 4.5.2.3.1.3

Trừ $10816$ khỏi $2704$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 8112}}{2 \cdot 16}$

Bước 4.5.2.3.1.4

Viết lại $- 8112$ ở dạng $- 1 (8112)$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8112}}{2 \cdot 16}$

Bước 4.5.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (8112)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

Bước 4.5.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

Bước 4.5.2.3.1.7

Viết lại $8112$ ở dạng $52^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.3.1.7.1

Đưa $2704$ ra ngoài $8112$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{2704 (3)}}{2 \cdot 16}$

Bước 4.5.2.3.1.7.2

Viết lại $2704$ ở dạng $52^{2}$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{52^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Bước 4.5.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot (52 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Bước 4.5.2.3.1.9

Di chuyển $52$ sang phía bên trái của $i$ .

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Bước 4.5.2.3.2

Nhân $2$ với $16$ .

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$

Bước 4.5.2.3.3

Rút gọn $\frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 13 \pm 13 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 4.5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$a = - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 4.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$ đúng.

$a = \frac{13}{4}, - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$