Đại số Ví dụ

$f (x) = e^{x} - 3$

Bước 1

Viết $f (x) = e^{x} - 3$ ở dạng một phương trình.

$y = e^{x} - 3$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = e^{y} - 3$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{y} - 3 = x$ .

$e^{y} - 3 = x$

Bước 3.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$e^{y} = x + 3$

Bước 3.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln (x + 3)$

Bước 3.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln (x + 3)$

Bước 3.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x + 3)$

Bước 3.4.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln (x + 3)$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ có là hàm ngược của $f (x) = e^{x} - 3$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (e^{x} - 3)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln ((e^{x} - 3) + 3)$

Bước 5.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $(e^{x} - 3) + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Cộng $- 3$ và $3$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x} + 0)$

Bước 5.2.3.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x})$

Bước 5.2.4

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \ln (e)$

Bước 5.2.5

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \cdot 1$

Bước 5.2.6

Nhân $x$ với $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\ln (x + 3))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\ln (x + 3)) = e^{\ln (x + 3)} - 3$

Bước 5.3.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (x + 3)) = x + 3 - 3$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 3 - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f (\ln (x + 3)) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\ln (x + 3)) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ là hàm ngược của $f (x) = e^{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$