Đại số Ví dụ

$\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1^{2}} - \frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$

Bước 1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$

Bước 1.2

Phân tích $x^{2} - x - 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 2$ và tổng của chúng là $- 1$ .

$- 2, 1$

Bước 1.2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$

Bước 2

Để viết $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$

Bước 3

Để viết $- \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Bước 4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x + 1) (x - 1) (x - 2)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ với $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Bước 4.2

Nhân $\frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$ với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{(x + 3) (x - 1)}{(x - 2) (x + 1) (x - 1)}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{(x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x (x - 2) - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.3

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} - 2 x + (- x - 1 \cdot 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + (- x - 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.6

Khai triển $(- x - 3) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} - 2 x - x (x - 1) - 3 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} - 2 x - x \cdot x - x \cdot - 1 - 3 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} - 2 x - x \cdot x - x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.7.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.7.1.2

Nhân $- x \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} + 1 x - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.7.1.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.7.1.3

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} + x - 3 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.7.2

Trừ $3 x$ khỏi $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.8

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{- 2 x + 0 - 2 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.9

Cộng $- 2 x$ và $0$ .

$\frac{- 2 x - 2 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 6.10

Trừ $2 x$ khỏi $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 7

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x$ .

$\frac{- (4 x) + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 7.2

Viết lại $3$ ở dạng $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 x) - 1 (- 3)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 7.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 x - 3)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 7.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Viết lại $- (4 x - 3)$ ở dạng $- 1 (4 x - 3)$ .

$\frac{- 1 (4 x - 3)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Bước 7.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 x - 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$