Đại số Ví dụ

$\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 25}$

Bước 1

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 5^{2}}$

Bước 1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 5$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$

Bước 2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x + 5, 5 - x, (x + 5) (x - 5)$

Bước 2.2

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 2.3

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 2.4

BCNN của $1, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$1$

Bước 2.5

Thừa số cho $x + 5$ là chính nó $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.6

Thừa số cho $5 - x$ là chính nó $5 - x$ .

$(5 - x) = 5 - x$

$(5 - x)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.7

Thừa số cho $x + 5$ là chính nó $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.8

Thừa số cho $x - 5$ là chính nó $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.9

BCNN của $x + 5, 5 - x, x + 5, x - 5$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$(x + 5) (5 - x) (x - 5)$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$ với $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$ với $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$\frac{1}{x + 5} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Đưa $x + 5$ ra ngoài $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$\frac{1}{x + 5} ((x + 5) ((5 - x) (x - 5))) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x + 5} ((x + 5) ((5 - x) (x - 5))) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$(5 - x) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.2

Viết lại $5$ ở dạng $- 1 (- 5)$ .

$(- 1 (- 5) - x) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$(- 1 (- 5) - (x)) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- 5) - (x)$ .

$- 1 (- 5 + x) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 1 (x - 5) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.6

Nâng $x - 5$ lên lũy thừa $1$ .

$- 1 ({(x - 5)}^{1} (x - 5)) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.7

Nâng $x - 5$ lên lũy thừa $1$ .

$- 1 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 1 {(x - 5)}^{1 + 1} + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.9

Cộng $1$ và $1$ .

$- 1 {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.10

Viết lại $- 1 {(x - 5)}^{2}$ ở dạng $- {(x - 5)}^{2}$ .

$- {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.11

Triệt tiêu thừa số chung $5 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.11.1

Đưa $5 - x$ ra ngoài $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$- {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((5 - x) ((x + 5) (x - 5))) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((5 - x) ((x + 5) (x - 5))) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.11.3

Viết lại biểu thức.

$- {(x - 5)}^{2} + x ((x + 5) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.12

Khai triển $(x + 5) (x - 5)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x (x - 5) + 5 (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.12.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.13

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.13.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x \cdot - 5$ và $5 x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.13.2

Cộng $- 5 x$ và $5 x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.13.3

Cộng $x \cdot x$ và $0$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.14

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.14.1

Nhân $x$ với $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x^{2} + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.14.2

Nhân $5$ với $- 5$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x^{2} - 25) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.15

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- {(x - 5)}^{2} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.16

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.16.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.16.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{1} x^{2} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.16.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{1 + 2} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.16.2

Cộng $1$ và $2$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.2.1.17

Di chuyển $- 25$ sang phía bên trái của $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $(x + 5) (x - 5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Đưa $(x + 5) (x - 5)$ ra ngoài $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5) (5 - x))$

Bước 3.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5) (5 - x))$

Bước 3.3.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 2 x (5 - x)$

Bước 3.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 2 x \cdot 5 + 2 x (- x)$

Bước 3.3.1.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1

Nhân $5$ với $2$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 x (- x)$

Bước 3.3.1.3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 \cdot - 1 x \cdot x$

Bước 3.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Di chuyển $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Bước 3.3.2.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 \cdot - 1 x^{2}$

Bước 3.3.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x - 2 x^{2}$

Bước 4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Trừ $10 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x - 10 x = - 2 x^{2}$

Bước 4.1.2

Cộng $2 x^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Bước 4.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Viết lại ${(x - 5)}^{2}$ ở dạng $(x - 5) (x - 5)$ .

$- ((x - 5) (x - 5)) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Bước 4.1.3.2

Khai triển $(x - 5) (x - 5)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (x (x - 5) - 5 (x - 5)) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Bước 4.1.3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Bước 4.1.3.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Bước 4.1.3.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$- (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Bước 4.1.3.3.1.2

Di chuyển $- 5$ sang phía bên trái của $x$ .

$- (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Bước 4.1.3.3.1.3

Nhân $- 5$ với $- 5$ .

$- (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Bước 4.1.3.3.2

Trừ $5 x$ khỏi $- 5 x$ .

$- (x^{2} - 10 x + 25) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Bước 4.1.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Bước 4.1.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.5.1

Nhân $- 10$ với $- 1$ .

$- x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Bước 4.1.3.5.2

Nhân $- 1$ với $25$ .

$- x^{2} + 10 x - 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Bước 4.1.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- x^{2} + 10 x - 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Trừ $10 x$ khỏi $10 x$ .

$- x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x + 0 + 2 x^{2} = 0$

Bước 4.1.4.2

Cộng $- x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x$ và $0$ .

$- x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x + 2 x^{2} = 0$

Bước 4.1.5

Cộng $- x^{2}$ và $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x = 0$

Bước 4.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$x^{3} + x^{2} - 25 x - 25 = 0$

Bước 4.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(x^{3} + x^{2}) - 25 x - 25 = 0$

Bước 4.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$x^{2} (x + 1) - 25 (x + 1) = 0$

Bước 4.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $x + 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - 25) = 0$

Bước 4.2.4

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Bước 4.2.5

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

$(x + 1) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Bước 4.2.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x + 1) (x + 5) (x - 5) = 0$

Bước 4.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Bước 4.4

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 4.4.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 4.5

Đặt $x + 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đặt $x + 5$ bằng với $0$ .

$x + 5 = 0$

Bước 4.5.2

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 5$

Bước 4.6

Đặt $x - 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đặt $x - 5$ bằng với $0$ .

$x - 5 = 0$

Bước 4.6.2

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 5$

Bước 4.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 1) (x + 5) (x - 5) = 0$ đúng.

$x = - 1, - 5, 5$

Bước 5

Loại bỏ đáp án không làm cho $\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 25}$ đúng.

$x = - 1$