Đại số Ví dụ

$f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$ .

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế với $1 + e^{- y}$ .

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

Bước 3.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 - e^{- y} = x (1 + e^{- y})$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn $x (1 + e^{- y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 - e^{- y} = x \cdot 1 + x e^{- y}$

Bước 3.3.2.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$1 - e^{- y} = x + x e^{- y}$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $x e^{- y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$1 - e^{- y} - x e^{- y} = x$

Bước 3.4.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- e^{- y} - x e^{- y} = x - 1$

Bước 3.4.3

Đưa $e^{- y}$ ra ngoài $- e^{- y} - x e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $e^{- y}$ ra ngoài $- e^{- y}$ .

$e^{- y} \cdot - 1 - x e^{- y} = x - 1$

Bước 3.4.3.2

Đưa $e^{- y}$ ra ngoài $- x e^{- y}$ .

$e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x) = x - 1$

Bước 3.4.3.3

Đưa $e^{- y}$ ra ngoài $e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x)$ .

$e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ cho $- 1 - x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ cho $- 1 - x$ .

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Chia $e^{- y}$ cho $1$ .

$e^{- y} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Bước 3.4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 - x}$

Bước 3.4.4.3.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - x}$

Bước 3.4.4.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - (x)}$

Bước 3.4.4.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (x)$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1 + x)}$

Bước 3.4.4.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- y} = - \frac{x - 1}{1 + x}$

Bước 3.4.5

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Bước 3.4.6

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Khai triển $\ln (e^{- y})$ bằng cách di chuyển $- y$ ra bên ngoài lôgarit.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Bước 3.4.6.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Bước 3.4.6.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Bước 3.4.7

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Rút gọn $\ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1.1

Tách phân số $\frac{x - 1}{1 + x}$ thành hai phân số.

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}))$

Bước 3.4.7.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} - \frac{1}{1 + x}))$

Bước 3.4.7.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} - - \frac{1}{1 + x})$

Bước 3.4.7.1.4

Nhân $- - \frac{1}{1 + x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + 1 \frac{1}{1 + x})$

Bước 3.4.7.1.4.2

Nhân $\frac{1}{1 + x}$ với $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Bước 3.4.8

Chia mỗi số hạng trong $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.8.1

Chia mỗi số hạng trong $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ cho $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Bước 3.4.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.8.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Bước 3.4.8.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Bước 3.4.8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.8.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Bước 3.4.8.3.2

Viết lại $- 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ ở dạng $- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ .

$y = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + 1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.3.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- (1 - e^{- x}) + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 \cdot 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.4.3

Nhân $- - e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + 1 e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.4.3.2

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.4.4

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{0 + e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.4.5

Cộng $0$ và $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.4.6

Cộng $e^{- x}$ và $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.6.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.6.3

Viết lại $\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.3.1

Cộng $1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + e^{- x} - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.6.3.2

Trừ $e^{- x}$ khỏi $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 0}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.6.3.3

Cộng $2$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2}{1 + e^{- x}}})$

Bước 5.2.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 (\frac{1 + e^{- x}}{2})))$

Bước 5.2.8

Nhân $\frac{1 + e^{- x}}{2}$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Bước 5.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 (e^{- x})}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Bước 5.2.9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Bước 5.2.9.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

Bước 5.2.10

Triệt tiêu thừa số chung $1 + e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

Bước 5.2.10.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (e^{- x})$

Bước 5.2.11

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $- x$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \ln (e))$

Bước 5.2.12

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \cdot 1)$

Bước 5.2.13

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}{1 + e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.2

Nhân $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.2.2

Nhân $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ với $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x - (- x + 1)}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.7

Viết lại $\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.7.2

Nhân $- - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.7.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + 1 x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.7.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.7.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.7.4

Cộng $x$ và $x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.7.5

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.7.6

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.4.2

Nhân $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.4.2.2

Nhân $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ với $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.4.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

Bước 5.3.4.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

Bước 5.3.4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - x + 1}{1 + x}}$

Bước 5.3.4.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}}$

Bước 5.3.4.7

Viết lại $\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.7.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

Bước 5.3.4.7.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

Bước 5.3.4.7.3

Cộng $1$ và $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

Bước 5.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Bước 5.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Bước 5.3.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Bước 5.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$