Đại số Ví dụ

$\frac{3 x}{4 x^{2} + 4} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} - 1}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{2} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2}) + 4} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} - 1}$

Bước 1.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2}) + 4 (1)} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} - 1}$

Bước 1.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} - 1}$

Bước 1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 1}$

Bước 1.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 1^{2}}$

Bước 1.2.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x^{2}$ và $b = 1$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}$

Bước 1.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})}$

Bước 1.2.4.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$

Bước 2

Để viết $\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$

Bước 3

Để viết $- \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)}$ với $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{3 x ((x + 1) (x - 1))}{4 (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 4.2

Nhân $\frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x ((x + 1) (x - 1))}{4 (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))} - \frac{2 x^{2} \cdot 4}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) \cdot 4}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $4 (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))$ .

$\frac{3 x ((x + 1) (x - 1))}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2} \cdot 4}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) \cdot 4}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các thừa số của $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) \cdot 4$ .

$\frac{3 x ((x + 1) (x - 1))}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2} \cdot 4}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 x ((x + 1) (x - 1)) - 2 x^{2} \cdot 4}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x ((x + 1) (x - 1)) - 2 x^{2} \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x ((x + 1) (x - 1))$ .

$\frac{x (3 ((x + 1) (x - 1))) - 2 x^{2} \cdot 4}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 x^{2} \cdot 4$ .

$\frac{x (3 ((x + 1) (x - 1))) + x (- 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (3 ((x + 1) (x - 1))) + x (- 2 x \cdot 4)$ .

$\frac{x (3 ((x + 1) (x - 1)) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.2

Khai triển $(x + 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (3 (x (x - 1) + 1 (x - 1)) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x (3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{x (3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.3.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{x (3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.3.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x (3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.3.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x (3 (x^{2} - x + x - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.3.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{x (3 (x^{2} + 0 - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.3.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$\frac{x (3 (x^{2} - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (3 x^{2} + 3 \cdot - 1 - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 3 - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.6

Nhân $4$ với $- 2$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 3 - 8 x)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.8

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ và có tổng là $b = - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1.1

Đưa $- 8$ ra ngoài $- 8 x$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 (x) - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.8.1.2

Viết lại $- 8$ ở dạng $1$ cộng $- 9$

$\frac{x (3 x^{2} + (1 - 9) x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.8.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.8.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + x - 9 x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.8.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{x ((3 x^{2} + x) - 9 x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.8.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{x (x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1))}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 6.8.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $3 x + 1$ .

$\frac{x ((3 x + 1) (x - 3))}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

$\frac{x (3 x + 1) (x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$