Đại số Ví dụ

$(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})$

Bước 1

Khai triển $(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$1 + 1 \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Bước 2.1.2

Nhân $\sqrt{2}$ với $1$ .

$1 + \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Bước 2.1.3

Nhân $- \sqrt{3}$ với $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Bước 2.1.4

Nhân $\sqrt{2}$ với $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Bước 2.1.5

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Bước 2.1.6

Nhân $2$ với $2$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Bước 2.1.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Bước 2.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Bước 2.1.9

Nhân $\sqrt{2} (- \sqrt{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.9.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Bước 2.1.9.2

Nhân $2$ với $3$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Bước 2.1.10

Nhân $\sqrt{3}$ với $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Bước 2.1.11

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Bước 2.1.12

Nhân $3$ với $2$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Bước 2.1.13

Nhân $\sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.13.1

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Bước 2.1.13.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Bước 2.1.13.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Bước 2.1.13.4

Cộng $1$ và $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{2}$

Bước 2.1.14

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.14.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 2.1.14.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 2.1.14.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.1.14.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.14.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.1.14.4.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{1}$

Bước 2.1.14.5

Tính số mũ.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 1 \cdot 3$

Bước 2.1.15

Nhân $- 1$ với $3$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3$

Bước 2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Cộng $1$ và $2$ .

$3 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3$

Bước 2.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$0 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

Bước 2.2.2.2

Cộng $0$ và $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

Bước 2.2.3

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

Bước 2.2.4

Cộng $- \sqrt{3}$ và $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{2} + 0 - \sqrt{6} + \sqrt{6}$

Bước 2.2.5

Cộng $2 \sqrt{2}$ và $0$ .

$2 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6}$

Bước 2.2.6

Cộng $- \sqrt{6}$ và $\sqrt{6}$ .

$2 \sqrt{2} + 0$

Bước 2.2.7

Cộng $2 \sqrt{2}$ và $0$ .

$2 \sqrt{2}$

Bước 3

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2 \sqrt{2}$

Dạng thập phân:

$2.82842712 \dots$