Đại số Ví dụ

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ và có tổng là $b = 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Đưa $7$ ra ngoài $7 y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 (y) + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Bước 1.1.1.2

Viết lại $7$ ở dạng $1$ cộng $6$

$\frac{2 y^{2} + (1 + 6) y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Bước 1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 y^{2} + 1 y + 6 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Bước 1.1.1.4

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{2 y^{2} + y + 6 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Bước 1.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{(2 y^{2} + y) + 6 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Bước 1.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{y (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Bước 1.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 y + 1$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Bước 1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{y^{3} - 1^{3}} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Bước 1.2.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = y$ và $b = 1$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Bước 1.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Bước 1.2.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Bước 2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1}$ với $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - (\frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} \cdot \frac{y - 1}{y - 1}) - \frac{3}{y - 1}$

Bước 2.2

Nhân $\frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1}$ với $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y^{2} + y + 1) (y - 1)} - \frac{3}{y - 1}$

Bước 2.3

Nhân $\frac{3}{y - 1}$ với $\frac{y^{2} + y + 1}{y^{2} + y + 1}$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y^{2} + y + 1) (y - 1)} - (\frac{3}{y - 1} \cdot \frac{y^{2} + y + 1}{y^{2} + y + 1})$

Bước 2.4

Nhân $\frac{3}{y - 1}$ với $\frac{y^{2} + y + 1}{y^{2} + y + 1}$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y^{2} + y + 1) (y - 1)} - \frac{3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 2.5

Sắp xếp lại các thừa số của $(y^{2} + y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(2 y + 1) (y + 3) - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Khai triển $(2 y + 1) (y + 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 y (y + 3) + 1 (y + 3) - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 y \cdot y + 2 y \cdot 3 + 1 (y + 3) - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 y \cdot y + 2 y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Di chuyển $y$ .

$\frac{2 (y \cdot y) + 2 y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.2.1.1.2

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{2 y^{2} + 2 y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.2.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{2 y^{2} + 6 y + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.2.1.3

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 6 y + y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.2.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 6 y + y + 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.2.2

Cộng $6 y$ và $y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 + (- 1 \cdot 1 - (- 2 y)) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 + (- 1 - (- 2 y)) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.5

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 + (- 1 + 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.6

Khai triển $(- 1 + 2 y) (y - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 1 (y - 1) + 2 y (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1.1

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y - 1 \cdot - 1 + 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.7.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.7.1.3

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1.3.1

Di chuyển $y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.7.1.3.2

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 y^{2} + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.7.1.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 y^{2} - 2 y - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.7.2

Trừ $2 y$ khỏi $- y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y - 3 \cdot 1}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 4.9

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y - 3}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y + 0}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 5.1.2

Cộng $2 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y$ và $0$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 5.2

Cộng $2 y^{2}$ và $2 y^{2}$ .

$\frac{4 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 - 3 y^{2} - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 5.3

Trừ $3 y^{2}$ khỏi $4 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} + 7 y - 3 y + 1 - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 5.4

Trừ $3 y$ khỏi $7 y$ .

$\frac{y^{2} + 4 y + 1 - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 5.5

Trừ $3 y$ khỏi $4 y$ .

$\frac{y^{2} + y + 1}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 5.6

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} + y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{2} + y + 1}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Bước 5.6.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y - 1}$