Đại số Ví dụ

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} \geq 2$

Bước 1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2 \geq 0$

Bước 2

Rút gọn $\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Phân tích $x^{2} - 3 x - 10$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 10$ và tổng của chúng là $- 3$ .

$- 5, 2$

Bước 2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \geq 0$

Bước 2.2

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \cdot \frac{1 - x}{1 - x} \geq 0$

Bước 2.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} + \frac{- 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(x - 5) (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Bước 2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Khai triển $(x - 5) (x + 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (x + 2) - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Bước 2.5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Bước 2.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Bước 2.5.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Bước 2.5.2.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Bước 2.5.2.1.3

Nhân $- 5$ với $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 5 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Bước 2.5.2.2

Trừ $5 x$ khỏi $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Bước 2.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 \cdot 1 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

Bước 2.5.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

Bước 2.5.5

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 + 2 x}{1 - x} \geq 0$

Bước 2.5.6

Cộng $- 3 x$ và $2 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 10 - 2}{1 - x} \geq 0$

Bước 2.5.7

Trừ $2$ khỏi $- 10$ .

$\frac{x^{2} - x - 12}{1 - x} \geq 0$

Bước 2.5.8

Phân tích $x^{2} - x - 12$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.8.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 12$ và tổng của chúng là $- 1$ .

$- 4, 3$

Bước 2.5.8.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x} \geq 0$

Bước 3

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$1 - x = 0$

Bước 4

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 5

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 6

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 1$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 7.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x = 1$

Bước 8

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 4$

$x = - 3$

$x = 1$

Bước 9

Hợp nhất các đáp án.

$x = 4, - 3, 1$

Bước 10

Tìm tập xác định của $\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt mẫu số trong $\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$1 - x = 0$

Bước 10.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 1$

Bước 10.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 10.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 10.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 10.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x = 1$

Bước 10.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 11

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Bước 12

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 12.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 - 10}{1 - (- 6)} \geq 2$

Bước 12.1.3

Vế trái $6.\overline{285714}$ lớn hơn vế phải $2$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 12.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 3 < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 3 < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 12.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 10}{1 - (0)} \geq 2$

Bước 12.2.3

Vế trái $- 10$ nhỏ hơn vế phải $2$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 12.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $1 < x < 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $1 < x < 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 12.3.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 10}{1 - (2)} \geq 2$

Bước 12.3.3

Vế trái $12$ lớn hơn vế phải $2$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 12.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 12.4.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 10}{1 - (6)} \geq 2$

Bước 12.4.3

Vế trái $- 1.6$ nhỏ hơn vế phải $2$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 12.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 1$ Sai

$1 < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

$x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 1$ Sai

$1 < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

Bước 13

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq - 3$ hoặc $1 < x \leq 4$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$x \leq - 3 or 1 < x \leq 4$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 3] \cup (1, 4]$

Bước 15