Ví dụ

7 x - y = - 4

$7 x - y = - 4$ ,

3 x - y = 0

$3 x - y = 0$

Bước 1

Để tìm giao điểm của đường thẳng qua một điểm

(p, q, r)

$(p, q, r)$ vuông góc với mặt phẳng

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ và mặt phẳng

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ :

1. Tìm các véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

P_{1}

$P_{1}$ và mặt phẳng

P_{2}

$P_{2}$ trong đó các véc tơ pháp tuyến là

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ và

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Kiểm tra xem tích vô hướng có bằng 0 không.

2. Tạo một tập hợp các phương trình tham số như

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ , và

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. Thay các phương trình này vào phương trình mặt phẳng

P_{2}

$P_{2}$ sao cho

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ và giải tìm

t

$t$ .

4. Sử dụng giá trị của

t

$t$ , giải các phương trình tham số

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ , và

z = r + c t

$z = r + c t$ để tìm

t

$t$ để tìm giao điểm

(x, y, z)

$(x, y, z)$ .

Bước 2

Tìm các vectơ thường cho mỗi mặt phẳng và xác định xem chúng có vuông góc không bằng cách tính tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

P_{1}

$P_{1}$ là

7 x - y = - 4

$7 x - y = - 4$ . Tìm véc tơ pháp tuyến

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ từ phương trình mặt phẳng có dạng

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ .

n_{1} = ⟨ 7, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 7, - 1, 0 ⟩$

Bước 2.2

P_{2}

$P_{2}$ là

3 x - y = 0

$3 x - y = 0$ . Tìm véc tơ pháp tuyến

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ từ phương trình mặt phẳng có dạng

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ .

n_{2} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

Bước 2.3

Tính tích vô hướng của

n_{1}

$n_{1}$ và

n_{2}

$n_{2}$ bằng cách lấy tổng các tích của các giá trị tương ứng

x

$x$ ,

y

$y$ , và

z

$z$ trong các véc tơ pháp tuyến.

7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Bước 2.4

Rút gọn tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Bước 2.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân

7

$7$ với

3

$3$ .

21 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$21 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Bước 2.4.2.2

Nhân

- 1

$- 1$ với

- 1

$- 1$ .

21 + 1 + 0 \cdot 0

$21 + 1 + 0 \cdot 0$

Bước 2.4.2.3

Nhân

0

$0$ với

0

$0$ .

21 + 1 + 0

$21 + 1 + 0$

21 + 1 + 0

$21 + 1 + 0$

Bước 2.4.3

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Cộng

21

$21$ và

1

$1$ .

22 + 0

$22 + 0$

Bước 2.4.3.2

Cộng

22

$22$ và

0

$0$ .

22

$22$

22

$22$

22

$22$

22

$22$

Bước 3

Tiếp theo, ta xây dựng một tập hợp các phương trình tham số

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ , và

z = r + c t

$z = r + c t$ bằng gốc tọa độ

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ cho điểm

(p, q, r)

$(p, q, r)$ và các giá trị từ vectơ pháp tuyến

22

$22$ cho các giá trị của

a

$a$ ,

b

$b$ , và

c

$c$ . Tập hợp các phương trình tham số này biểu diễn đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với

P_{1}

$P_{1}$

7 x - y = - 4

$7 x - y = - 4$ .

x = 0 + 7 \cdot t

$x = 0 + 7 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

Bước 4

Thay biểu thức cho

x

$x$ ,

y

$y$ và

z

$z$ vào phương trình cho

P_{2}

$P_{2}$

3 x - y = 0

$3 x - y = 0$ .

3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0

$3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0$

Bước 5

Giải phương trình để tìm

t

$t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn

3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong

3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Cộng

0

$0$ và

7 \cdot t

$7 \cdot t$ .

3 (7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0

$3 (7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0$

Bước 5.1.1.2

Trừ

1 \cdot t

$1 \cdot t$ khỏi

0

$0$ .

3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0

$3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0$

3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0

$3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0$

Bước 5.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Nhân

7

$7$ với

3

$3$ .

21 t - (- 1 \cdot t) = 0

$21 t - (- 1 \cdot t) = 0$

Bước 5.1.2.2

Viết lại

- 1 t

$- 1 t$ ở dạng

- t

$- t$ .

21 t - - t = 0

$21 t - - t = 0$

Bước 5.1.2.3

Nhân

- - t

$- - t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.3.1

Nhân

- 1

$- 1$ với

- 1

$- 1$ .

21 t + 1 t = 0

$21 t + 1 t = 0$

Bước 5.1.2.3.2

Nhân

t

$t$ với

1

$1$ .

21 t + t = 0

$21 t + t = 0$

21 t + t = 0

$21 t + t = 0$

21 t + t = 0

$21 t + t = 0$

Bước 5.1.3

Cộng

21 t

$21 t$ và

t

$t$ .

22 t = 0

$22 t = 0$

22 t = 0

$22 t = 0$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong

22 t = 0

$22 t = 0$ cho

22

$22$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong

22 t = 0

$22 t = 0$ cho

22

$22$ .

\frac{22 t}{22} = \frac{0}{22}

$\frac{22 t}{22} = \frac{0}{22}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

22

$22$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{22 t}{22} = \frac{0}{22}$

Bước 5.2.2.1.2

Chia

$t$ cho

$1$ .

$t = \frac{0}{22}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Chia

$0$ cho

$22$ .

$t = 0$

Bước 6

Giải các phương trình tham số cho

$x$ ,

$y$ , và

$z$ bằng giá trị của

$t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giải phương trình để tìm

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 0 + 7 \cdot (0)$

Bước 6.1.2

Rút gọn

$0 + 7 \cdot (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Nhân

$7$ với

$0$ .

$x = 0 + 0$

Bước 6.1.2.2

Cộng

$0$ và

$0$ .

$x = 0$

Bước 6.2

Giải phương trình để tìm

$y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 0 - 1 \cdot 0$

Bước 6.2.2

Trừ

$0$ khỏi

$0$ .

$y = 0$

Bước 6.3

Giải phương trình để tìm

$z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$z = 0 + 0 \cdot (0)$

Bước 6.3.2

Rút gọn

$0 + 0 \cdot (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân

$0$ với

$0$ .

$z = 0 + 0$

Bước 6.3.2.2

Cộng

$0$ và

$0$ .

$z = 0$

Bước 6.4

Các phương trình tham số đã giải cho

$x$ ,

$y$ , và

$z$ .

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Bước 7

Sử dụng các giá trị được tính cho

$x$ ,

$y$ và

$z$ , giao điểm tìm được là

$(0, 0, 0)$ .

$(0, 0, 0)$

Nhập bài toán CỦA BẠN