Ví dụ
3x-y=-43x−y=−4 , x-2y=-3x−2y=−3
Bước 1
Để tìm giao điểm của đường thẳng qua một điểm (p,q,r)(p,q,r) vuông góc với mặt phẳng P1P1 ax+by+cz=dax+by+cz=d và mặt phẳng P2P2 ex+fy+gz=hex+fy+gz=h:
1. Tìm các véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P1P1 và mặt phẳng P2P2 trong đó các véc tơ pháp tuyến là n1=⟨a,b,c⟩n1=⟨a,b,c⟩ và n2=⟨e,f,g⟩n2=⟨e,f,g⟩. Kiểm tra xem tích vô hướng có bằng 0 không.
2. Tạo một tập hợp các phương trình tham số như x=p+atx=p+at, y=q+bty=q+bt, và z=r+ctz=r+ct.
3. Thay các phương trình này vào phương trình mặt phẳng P2P2 sao cho e(p+at)+f(q+bt)+g(r+ct)=he(p+at)+f(q+bt)+g(r+ct)=h và giải tìm tt.
4. Sử dụng giá trị của tt, giải các phương trình tham số x=p+atx=p+at, y=q+bty=q+bt, và z=r+ctz=r+ct để tìm tt để tìm giao điểm (x,y,z)(x,y,z).
Bước 2
Bước 2.1
P1P1 là 3x-y=-43x−y=−4. Tìm véc tơ pháp tuyến n1=⟨a,b,c⟩n1=⟨a,b,c⟩ từ phương trình mặt phẳng có dạng ax+by+cz=dax+by+cz=d.
n1=⟨3,-1,0⟩n1=⟨3,−1,0⟩
Bước 2.2
P2P2 là x-2y=-3x−2y=−3. Tìm véc tơ pháp tuyến n2=⟨e,f,g⟩n2=⟨e,f,g⟩ từ phương trình mặt phẳng có dạng ex+fy+gz=hex+fy+gz=h.
n2=⟨1,-2,0⟩n2=⟨1,−2,0⟩
Bước 2.3
Tính tích vô hướng của n1n1 và n2n2 bằng cách lấy tổng các tích của các giá trị tương ứng xx, yy, và zz trong các véc tơ pháp tuyến.
3⋅1-1⋅-2+0⋅03⋅1−1⋅−2+0⋅0
Bước 2.4
Rút gọn tích vô hướng.
Bước 2.4.1
Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.
3⋅1-1⋅-2+0⋅03⋅1−1⋅−2+0⋅0
Bước 2.4.2
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 2.4.2.1
Nhân 33 với 11.
3-1⋅-2+0⋅03−1⋅−2+0⋅0
Bước 2.4.2.2
Nhân -1−1 với -2−2.
3+2+0⋅03+2+0⋅0
Bước 2.4.2.3
Nhân 00 với 00.
3+2+03+2+0
3+2+03+2+0
Bước 2.4.3
Rút gọn bằng cách cộng các số.
Bước 2.4.3.1
Cộng 33 và 22.
5+05+0
Bước 2.4.3.2
Cộng 55 và 00.
55
55
55
55
Bước 3
Tiếp theo, ta xây dựng một tập hợp các phương trình tham số x=p+atx=p+at,y=q+bty=q+bt, và z=r+ctz=r+ct bằng gốc tọa độ (0,0,0)(0,0,0) cho điểm (p,q,r)(p,q,r) và các giá trị từ vectơ pháp tuyến 55 cho các giá trị của aa, bb, và cc. Tập hợp các phương trình tham số này biểu diễn đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với P1P1 3x-y=-43x−y=−4.
x=0+3⋅tx=0+3⋅t
y=0+-1⋅ty=0+−1⋅t
z=0+0⋅tz=0+0⋅t
Bước 4
Thay biểu thức cho xx, yy và zz vào phương trình cho P2P2 x-2y=-3x−2y=−3.
(0+3⋅t)-2(0-1⋅t)=-3(0+3⋅t)−2(0−1⋅t)=−3
Bước 5
Bước 5.1
Rút gọn (0+3⋅t)-2(0-1⋅t)(0+3⋅t)−2(0−1⋅t).
Bước 5.1.1
Kết hợp các số hạng đối nhau trong (0+3⋅t)-2(0-1⋅t)(0+3⋅t)−2(0−1⋅t).
Bước 5.1.1.1
Cộng 00 và 3⋅t3⋅t.
3⋅t-2(0-1⋅t)=-33⋅t−2(0−1⋅t)=−3
Bước 5.1.1.2
Trừ 1⋅t1⋅t khỏi 00.
3⋅t-2(-1⋅t)=-33⋅t−2(−1⋅t)=−3
3⋅t-2(-1⋅t)=-33⋅t−2(−1⋅t)=−3
Bước 5.1.2
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 5.1.2.1
Viết lại -1t−1t ở dạng -t−t.
3t-2(-t)=-3
Bước 5.1.2.2
Nhân -1 với -2.
3t+2t=-3
3t+2t=-3
Bước 5.1.3
Cộng 3t và 2t.
5t=-3
5t=-3
Bước 5.2
Chia mỗi số hạng trong 5t=-3 cho 5 và rút gọn.
Bước 5.2.1
Chia mỗi số hạng trong 5t=-3 cho 5.
5t5=-35
Bước 5.2.2
Rút gọn vế trái.
Bước 5.2.2.1
Triệt tiêu thừa số chung 5.
Bước 5.2.2.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
5t5=-35
Bước 5.2.2.1.2
Chia t cho 1.
t=-35
t=-35
t=-35
Bước 5.2.3
Rút gọn vế phải.
Bước 5.2.3.1
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
t=-35
t=-35
t=-35
t=-35
Bước 6
Bước 6.1
Giải phương trình để tìm x.
Bước 6.1.1
Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.
x=0+3⋅(-1(35))
Bước 6.1.2
Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.
x=0+3⋅(-35)
Bước 6.1.3
Rút gọn 0+3⋅(-35).
Bước 6.1.3.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 6.1.3.1.1
Nhân 3(-35).
Bước 6.1.3.1.1.1
Nhân -1 với 3.
x=0-3(35)
Bước 6.1.3.1.1.2
Kết hợp -3 và 35.
x=0+-3⋅35
Bước 6.1.3.1.1.3
Nhân -3 với 3.
x=0+-95
x=0+-95
Bước 6.1.3.1.2
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
x=0-95
x=0-95
Bước 6.1.3.2
Trừ 95 khỏi 0.
x=-95
x=-95
x=-95
Bước 6.2
Giải phương trình để tìm y.
Bước 6.2.1
Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.
y=0-1⋅(-1(35))
Bước 6.2.2
Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.
y=0-1⋅(-35)
Bước 6.2.3
Rút gọn 0-1⋅(-35).
Bước 6.2.3.1
Nhân -1(-35).
Bước 6.2.3.1.1
Nhân -1 với -1.
y=0+1(35)
Bước 6.2.3.1.2
Nhân 35 với 1.
y=0+35
y=0+35
Bước 6.2.3.2
Cộng 0 và 35.
y=35
y=35
y=35
Bước 6.3
Giải phương trình để tìm z.
Bước 6.3.1
Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.
z=0+0⋅(-1(35))
Bước 6.3.2
Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.
z=0+0⋅(-35)
Bước 6.3.3
Rút gọn 0+0⋅(-35).
Bước 6.3.3.1
Nhân 0(-35).
Bước 6.3.3.1.1
Nhân -1 với 0.
z=0+0(35)
Bước 6.3.3.1.2
Nhân 0 với 35.
z=0+0
z=0+0
Bước 6.3.3.2
Cộng 0 và 0.
z=0
z=0
z=0
Bước 6.4
Các phương trình tham số đã giải cho x, y, và z.
x=-95
y=35
z=0
x=-95
y=35
z=0
Bước 7
Sử dụng các giá trị được tính cho x, y và z, giao điểm tìm được là (-95,35,0).
(-95,35,0)