Ví dụ

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Bước 1

Tìm các trị riêng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập công thức để tìm phương trình đặc trưng $p (λ)$ .

$p (λ) = định thức (A - λ I_{2})$

Bước 1.2

Ma trận đơn vị cỡ $2$ là ma trận vuông $2 \times 2$ có đường chéo chính gồm các hệ số một và phần còn lại là các hệ số không.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Bước 1.3

Thay các giá trị đã biết vào $p (λ) = định thức (A - λ I_{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$ bằng $A$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Bước 1.3.2

Thay $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ bằng $I_{2}$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Nhân $- λ$ với mỗi phần tử của ma trận.

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.2

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.2.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.3

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.3.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Bước 1.4.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3

Rút gọn từng phần tử.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Cộng $2$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3.2

Cộng $3$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

Bước 1.5

Tìm định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.5.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.1

Khai triển $(4 - λ) (1 - λ)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 4 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.5.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.5.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.5.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.2.1.1

Nhân $4$ với $1$ .

$p (λ) = 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.5.2.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.5.2.1.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.5.2.1.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Bước 1.5.2.1.2.1.5

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.2.1.5.1

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.5.2.1.2.1.5.2

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Bước 1.5.2.1.2.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Bước 1.5.2.1.2.1.7

Nhân $λ^{2}$ với $1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Bước 1.5.2.1.2.2

Trừ $λ$ khỏi $- 4 λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Bước 1.5.2.1.3

Nhân $- 3$ với $2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Bước 1.5.2.2

Trừ $6$ khỏi $4$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Bước 1.5.2.3

Sắp xếp lại $- 5 λ$ và $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Bước 1.6

Đặt đa thức đặc trưng bằng $0$ để tìm các trị riêng $λ$ .

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Bước 1.7

Giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 1.7.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 5$ , và $c = - 2$ vào công thức bậc hai và giải tìm $λ$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.3.1.1

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.7.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.7.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.7.3.1.3

Cộng $25$ và $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.7.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Bước 1.7.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Bước 2

Vectơ riêng bằng không gian không hạch của ma trận trừ đi giá trị riêng nhân với ma trận đơn vị, trong đó $N$ là không gian không hạch và $I$ là ma trận đơn vị.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Bước 3

Tìm vectơ riêng bằng cách sử dụng trị riêng $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.2

Nhân $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.2.2

Nhân $0$ với $\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.3

Nhân $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.3.2

Nhân $0$ với $\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3

Rút gọn từng phần tử.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.2

Kết hợp $4$ và $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.4.1

Nhân $4$ với $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.4.3

Nhân $- 1$ với $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.4.4

Trừ $5$ khỏi $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.5

Cộng $2$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.6

Cộng $3$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.9.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.9.3

Trừ $5$ khỏi $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.10

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (3) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Bước 3.2.3.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 3.3

Tìm không gian không hạch khi $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 (- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Bước 3.3.4

Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} + \frac{y \sqrt{33}}{6} \\ y \end{array}]$

Bước 3.3.5

Viết nghiệm dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Bước 3.3.6

Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Bước 3.3.7

Đáp án là tập hợp các vectơ được tạo ra từ các biến tự do của hệ phương trình.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Bước 4

Tìm vectơ riêng bằng cách sử dụng trị riêng $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.2

Nhân $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.2.2

Nhân $0$ với $\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.3

Nhân $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.3.2

Nhân $0$ với $\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3

Rút gọn từng phần tử.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.2

Kết hợp $4$ và $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.4.1

Nhân $4$ với $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.4.3

Nhân $- 1$ với $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.4.4

Nhân $- - \sqrt{33}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.4.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.4.4.2

Nhân $\sqrt{33}$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.4.5

Trừ $5$ khỏi $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.5

Cộng $2$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.6

Cộng $3$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.9.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.9.3

Nhân $- - \sqrt{33}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.9.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.9.3.2

Nhân $\sqrt{33}$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.9.4

Trừ $5$ khỏi $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.10

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Bước 4.2.3.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Bước 4.3

Tìm không gian không hạch khi $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 (- \frac{3 - \sqrt{33}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Bước 4.3.4

Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} - \frac{y \sqrt{33}}{6} \\ y \end{array}]$

Bước 4.3.5

Viết nghiệm dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Bước 4.3.6

Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Bước 4.3.7

Đáp án là tập hợp các vectơ được tạo ra từ các biến tự do của hệ phương trình.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Bước 5

Không gian riêng của $A$ là danh sách không gian vectơ cho mỗi trị riêng.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Nhập bài toán CỦA BẠN