Lượng giác Ví dụ

sin (7 x)

$\sin (7 x)$

Bước 1

Một phương pháp tốt để khai triển

sin (7 x)

$\sin (7 x)$ là sử dụng định lý De Moivre

(r {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n} = r^{n} (cos (n x) + i \cdot sin (n x)))

$(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Khi

r = 1

$r = 1$ , thì

cos (n x) + i \cdot sin (n x) = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n}

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

cos (n x) + i \cdot sin (n x) = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n}

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Bước 2

Khai triển vế phải của

cos (n x) + i \cdot sin (n x) = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n}

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ bằng cách sử dụng định lý nhị thức.

Khai triển:

{(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{7}

${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{7}$

Bước 3

Sử dụng định lý nhị thức.

{cos}^{7} (x) + 7 {cos}^{6} (x) (i sin (x)) + 21 {cos}^{5} (x) {(i sin (x))}^{2} + 35 {cos}^{4} (x) {(i sin (x))}^{3} + 35 {cos}^{3} (x) {(i sin (x))}^{4} + 21 {cos}^{2} (x) {(i sin (x))}^{5} + 7 cos (x) {(i sin (x))}^{6} + {(i sin (x))}^{7}

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) (i \sin (x)) + 21 \cos^{5} (x) {(i \sin (x))}^{2} + 35 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho

i sin (x)

$i \sin (x)$ .

{cos}^{7} (x) + 7 {cos}^{6} (x) i sin (x) + 21 {cos}^{5} (x) (i^{2} {sin}^{2} (x)) + 35 {cos}^{4} (x) {(i sin (x))}^{3} + 35 {cos}^{3} (x) {(i sin (x))}^{4} + 21 {cos}^{2} (x) {(i sin (x))}^{5} + 7 cos (x) {(i sin (x))}^{6} + {(i sin (x))}^{7}

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) + 21 \cos^{5} (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + 35 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

{cos}^{7} (x) + 7 {cos}^{6} (x) i sin (x) + 21 \cdot i^{2} {cos}^{5} (x) {sin}^{2} (x) + 35 {cos}^{4} (x) {(i sin (x))}^{3} + 35 {cos}^{3} (x) {(i sin (x))}^{4} + 21 {cos}^{2} (x) {(i sin (x))}^{5} + 7 cos (x) {(i sin (x))}^{6} + {(i sin (x))}^{7}

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) + 21 \cdot i^{2} \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.3

Viết lại

$i^{2}$ ở dạng

$- 1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) + 21 \cdot - 1 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.4

Nhân

$21$ với

$- 1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.5

Áp dụng quy tắc tích số cho

$i \sin (x)$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cos^{4} (x) (i^{3} \sin^{3} (x)) + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cdot i^{3} \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.7

Đưa

$i^{2}$ ra ngoài.

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cdot (i^{2} \cdot i) \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.8

Viết lại

$i^{2}$ ở dạng

$- 1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cdot (- 1 \cdot i) \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.9

Viết lại

$- 1 i$ ở dạng

$- i$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cdot (- i) \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.10

Nhân

$- 1$ với

$35$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.11

Áp dụng quy tắc tích số cho

$i \sin (x)$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) (i^{4} \sin^{4} (x)) + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.12

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cdot i^{4} \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.13

Viết lại

$i^{4}$ ở dạng

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.13.1

Viết lại

$i^{4}$ ở dạng

${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cdot {(i^{2})}^{2} \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.13.2

Viết lại

$i^{2}$ ở dạng

$- 1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cdot {(- 1)}^{2} \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.13.3

Nâng

$- 1$ lên lũy thừa

$2$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cdot 1 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.14

Nhân

$35$ với

$1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.15

Áp dụng quy tắc tích số cho

$i \sin (x)$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cos^{2} (x) (i^{5} \sin^{5} (x)) + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.16

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cdot i^{5} \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.17

Đưa

$i^{4}$ ra ngoài.

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cdot (i^{4} i) \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.18

Viết lại

$i^{4}$ ở dạng

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.18.1

Viết lại

$i^{4}$ ở dạng

${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cdot ({(i^{2})}^{2} i) \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.18.2

Viết lại

$i^{2}$ ở dạng

$- 1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cdot ({(- 1)}^{2} i) \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.18.3

Nâng

$- 1$ lên lũy thừa

$2$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cdot (1 i) \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.19

Nhân

$i$ với

$1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cdot i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.20

Áp dụng quy tắc tích số cho

$i \sin (x)$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) (i^{6} \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.21

Đưa

$i^{4}$ ra ngoài.

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) (i^{4} i^{2} \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.22

Viết lại

$i^{4}$ ở dạng

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.22.1

Viết lại

$i^{4}$ ở dạng

${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) ({(i^{2})}^{2} i^{2} \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.22.2

Viết lại

$i^{2}$ ở dạng

$- 1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) ({(- 1)}^{2} i^{2} \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.22.3

Nâng

$- 1$ lên lũy thừa

$2$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) (1 i^{2} \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.23

Nhân

$i^{2}$ với

$1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) (i^{2} \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.24

Viết lại

$i^{2}$ ở dạng

$- 1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) (- 1 \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.25

Viết lại

$- 1 \sin^{6} (x)$ ở dạng

$- \sin^{6} (x)$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) (- \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.26

Nhân

$- 1$ với

$7$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) - 7 \cos (x) \sin^{6} (x) + {(i \sin (x))}^{7}$

Bước 4.1.27

Áp dụng quy tắc tích số cho

$i \sin (x)$ .

Bước 4.1.28

Viết lại

$i^{7}$ ở dạng

$i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.28.1

Đưa

$i^{4}$ ra ngoài.

Bước 4.1.28.2

Đưa

$i^{2}$ ra ngoài.

Bước 4.1.29

Viết lại

$i^{4}$ ở dạng

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.29.1

Viết lại

$i^{4}$ ở dạng

${(i^{2})}^{2}$ .

Bước 4.1.29.2

Viết lại

$i^{2}$ ở dạng

$- 1$ .

Bước 4.1.29.3

Nâng

$- 1$ lên lũy thừa

$2$ .

Bước 4.1.30

Nhân

$i^{2} \cdot i$ với

$1$ .

Bước 4.1.31

Viết lại

$i^{2}$ ở dạng

$- 1$ .

Bước 4.1.32

Viết lại

$- 1 i$ ở dạng

$- i$ .

Bước 4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong

$\cos^{7} (x) + 7 i \cos^{6} (x) \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) - 7 \cos (x) \sin^{6} (x) - i \sin^{7} (x)$

Bước 5

Di chuyển các biểu thức có phần ảo bằng

$\sin (7 x)$ ra ngoài. Loại bỏ số ảo

$i$ .

$\sin (7 x) = 7 \cos^{6} (x) \sin (x) - 35 \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 21 \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) - \sin^{7} (x)$

Nhập bài toán CỦA BẠN