Lượng giác Ví dụ

{(z - 3)}^{3} = 2 i

${(z - 3)}^{3} = 2 i$

Bước 1

Thay

$u$ bằng

$z - 3$ .

$u^{3} = 2 i$

Bước 2

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó

$| z |$ là mô-đun và

$θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 3

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó

$z = a + b i$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế của

$a = 0$ và

$b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Bước 5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 2$

Bước 6

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

Bước 7

Vì đối số không xác định và

$b$ dương, nên góc của điểm trên mặt phẳng phức là

$\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Bước 8

Thay các giá trị của

$θ = \frac{π}{2}$ và

$| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 9

Thay thế vế phải của phương trình bằng dạng lượng giác.

$u^{3} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 10

Sử dụng định lý De Moivre để tìm một phương trình cho

$u$ .

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 11

Đặt mô-đun của dạng lượng giác bằng

$r^{3}$ để tìm giá trị của

$r$ .

$r^{3} = 2$

Bước 12

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \sqrt[3]{2}$

Bước 13

Tìm giá trị xấp xỉ của

$r$ .

$r = 1.25992104$

Bước 14

Tìm các giá trị có thể có của

$θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ và

$s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Bước 15

Tìm tất cả các giá trị khả thi của

$θ$ để có được phương trình

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Bước 16

Tìm

$θ$ cho

$r = 0$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Bước 17

Giải phương trình để tìm

$θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Nhân

$2 π (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1.1

Nhân

$0$ với

$2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Bước 17.1.1.2

Nhân

$0$ với

$π$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

Bước 17.1.2

Cộng

$\frac{π}{2}$ và

$0$ .

$3 θ = \frac{π}{2}$

Bước 17.2

Chia mỗi số hạng trong

$3 θ = \frac{π}{2}$ cho

$3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Chia mỗi số hạng trong

$3 θ = \frac{π}{2}$ cho

$3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Bước 17.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

$3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Bước 17.2.2.1.2

Chia

$θ$ cho

$1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Bước 17.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 17.2.3.2

Nhân

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.3.2.1

Nhân

$\frac{π}{2}$ với

$\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Bước 17.2.3.2.2

Nhân

$2$ với

$3$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Bước 18

Sử dụng các giá trị của

$θ$ và

$r$ để tìm một đáp án cho phương trình

$u^{3} = 2 i$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Bước 19

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Giá trị chính xác của

$\cos (\frac{π}{6})$ là

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Bước 19.1.2

Giá trị chính xác của

$\sin (\frac{π}{6})$ là

$\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Bước 19.1.3

Kết hợp

$i$ và

$\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Bước 19.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Bước 19.3

Nhân

$1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1

Kết hợp

$1.25992104$ và

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Bước 19.3.2

Nhân

$1.25992104$ với

$\sqrt{3}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Bước 19.4

Kết hợp

$1.25992104$ và

$\frac{i}{2}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Bước 19.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.5.1

Chia

$2.18224727$ cho

$2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Bước 19.5.2

Đưa

$1.25992104$ ra ngoài

$1.25992104 i$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Bước 19.5.3

Đưa

$2$ ra ngoài

$2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Bước 19.5.4

Tách các phân số.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Bước 19.5.5

Chia

$1.25992104$ cho

$2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Bước 19.5.6

Chia

$i$ cho

$1$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 i$

Bước 20

Thay

$z - 3$ cho

$u$ để tính giá trị của

$z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{0} = 3 + 1.09112363 + 0.62996052 i$

Bước 21

Tìm

$θ$ cho

$r = 1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Bước 22

Giải phương trình để tìm

$θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1

Nhân

$2$ với

$1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Bước 22.1.2

Để viết

$2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Bước 22.1.3

Kết hợp

$2 π$ và

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Bước 22.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Bước 22.1.5

Nhân

$2$ với

$2$ .

$3 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Bước 22.1.6

Cộng

$π$ và

$4 π$ .

$3 θ = \frac{5 π}{2}$

Bước 22.2

Chia mỗi số hạng trong

$3 θ = \frac{5 π}{2}$ cho

$3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1

Chia mỗi số hạng trong

$3 θ = \frac{5 π}{2}$ cho

$3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Bước 22.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

$3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Bước 22.2.2.1.2

Chia

$θ$ cho

$1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Bước 22.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 22.2.3.2

Nhân

$\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.3.2.1

Nhân

$\frac{5 π}{2}$ với

$\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Bước 22.2.3.2.2

Nhân

$2$ với

$3$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Bước 23

Sử dụng các giá trị của

$θ$ và

$r$ để tìm một đáp án cho phương trình

$u^{3} = 2 i$ .

$u_{1} = 1.25992104 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Bước 24

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$u_{1} = 1.25992104 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Bước 24.1.2

Giá trị chính xác của

$\cos (\frac{π}{6})$ là

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Bước 24.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Bước 24.1.4

Giá trị chính xác của

$\sin (\frac{π}{6})$ là

$\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Bước 24.1.5

Kết hợp

$i$ và

$\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Bước 24.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Bước 24.3

Nhân

$1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.3.1

Nhân

$- 1$ với

$1.25992104$ .

$u_{1} = - 1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Bước 24.3.2

Kết hợp

$- 1.25992104$ và

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Bước 24.3.3

Nhân

$- 1.25992104$ với

$\sqrt{3}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Bước 24.4

Kết hợp

$1.25992104$ và

$\frac{i}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Bước 24.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.5.1

Chia

$- 2.18224727$ cho

$2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Bước 24.5.2

Đưa

$1.25992104$ ra ngoài

$1.25992104 i$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Bước 24.5.3

Đưa

$2$ ra ngoài

$2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Bước 24.5.4

Tách các phân số.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Bước 24.5.5

Chia

$1.25992104$ cho

$2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Bước 24.5.6

Chia

$i$ cho

$1$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Bước 25

Thay

$z - 3$ cho

$u$ để tính giá trị của

$z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{1} = 3 - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Bước 26

Tìm

$θ$ cho

$r = 2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Bước 27

Giải phương trình để tìm

$θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1.1

Nhân

$2$ với

$2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Bước 27.1.2

Để viết

$4 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Bước 27.1.3

Kết hợp

$4 π$ và

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Bước 27.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Bước 27.1.5

Nhân

$2$ với

$4$ .

$3 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Bước 27.1.6

Cộng

$π$ và

$8 π$ .

$3 θ = \frac{9 π}{2}$

Bước 27.2

Chia mỗi số hạng trong

$3 θ = \frac{9 π}{2}$ cho

$3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.1

Chia mỗi số hạng trong

$3 θ = \frac{9 π}{2}$ cho

$3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Bước 27.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

$3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Bước 27.2.2.1.2

Chia

$θ$ cho

$1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Bước 27.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 27.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung

$3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.3.2.1

Đưa

$3$ ra ngoài

$9 π$ .

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 27.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 27.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Bước 28

Sử dụng các giá trị của

$θ$ và

$r$ để tìm một đáp án cho phương trình

$u^{3} = 2 i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Bước 29

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Bước 29.1.2

Giá trị chính xác của

$\cos (\frac{π}{2})$ là

$0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Bước 29.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 29.1.4

Giá trị chính xác của

$\sin (\frac{π}{2})$ là

$1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

Bước 29.1.5

Nhân

$- 1$ với

$1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \cdot - 1)$

Bước 29.1.6

Di chuyển

$- 1$ sang phía bên trái của

$i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - 1 \cdot i)$

Bước 29.1.7

Viết lại

$- 1 i$ ở dạng

$- i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - i)$

Bước 29.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.2.1

Trừ

$i$ khỏi

$0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (- i)$

Bước 29.2.2

Nhân

$- 1$ với

$1.25992104$ .

$u_{2} = - 1.25992104 i$

Bước 30

Thay

$z - 3$ cho

$u$ để tính giá trị của

$z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{2} = 3 - 1.25992104 i$

Bước 31

Đây là những đáp án số phức cho

$u^{3} = 2 i$ .

$z_{0} = 4.09112363 + 0.62996052 i$

$z_{1} = 1.90887636 + 0.62996052 i$

$z_{2} = 3 - 1.25992104 i$

Nhập bài toán CỦA BẠN