Giải tích sơ cấp Ví dụ

$(6, 8)$ , $(2, 4)$

Bước 1

Sử dụng công thức tính tích vô hướng để tìm góc giữa hai vectơ.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Bước 2

Tìm tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tích vô hướng của hai vectơ là tổng tích của các thành phần.

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 2 + 8 \cdot 4$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $6$ với $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 8 \cdot 4$

Bước 2.2.1.2

Nhân $8$ với $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32$

Bước 2.2.2

Cộng $12$ và $32$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

Bước 3

Tìm độ lớn của $a⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 8^{2}}$

Bước 3.2.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 64}$

Bước 3.2.3

Cộng $36$ và $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100}$

Bước 3.2.4

Viết lại $100$ ở dạng $10^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2}}$

Bước 3.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| a⃗ | = 10$

Bước 4

Tìm độ lớn của $b⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

Bước 4.2.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Bước 4.2.3

Cộng $4$ và $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

Bước 4.2.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Bước 4.2.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Bước 5

Thay các giá trị vào công thức.

$θ = \arccos (\frac{44}{10 (2 \sqrt{5})})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung của $44$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $44$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{10 (2 \sqrt{5})})$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10 (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Bước 6.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 22}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Bước 6.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $22$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $22$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{5 (2 \sqrt{5})})$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $5 (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Bước 6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})$

Bước 6.3

Nhân $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Bước 6.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5} \sqrt{5}})$

Bước 6.4.2

Di chuyển $\sqrt{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 (\sqrt{5} \sqrt{5})})$

Bước 6.4.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})})$

Bước 6.4.4

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})})$

Bước 6.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Bước 6.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{2}})$

Bước 6.4.7

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 6.4.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 6.4.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.4.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.4.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})$

Bước 6.4.7.5

Tính số mũ.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})$

Bước 6.5

Nhân $5$ với $5$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$

Bước 6.6

Tính $\arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$ .

$θ = 10.30484646$

Nhập bài toán CỦA BẠN