Giải tích sơ cấp Ví dụ

(2, 4)

$(2, 4)$ ,

(- 4, 9)

$(- 4, 9)$

Bước 1

Sử dụng công thức tính tích vô hướng để tìm góc giữa hai vectơ.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Bước 2

Tìm tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tích vô hướng của hai vectơ là tổng tích của các thành phần.

a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 4 + 4 \cdot 9

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 4 + 4 \cdot 9$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân

2

$2$ với

- 4

$- 4$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 4 \cdot 9

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 4 \cdot 9$

Bước 2.2.1.2

Nhân

4

$4$ với

9

$9$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 36

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 36$

a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 36

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 36$

Bước 2.2.2

Cộng

- 8

$- 8$ và

36

$36$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 28

$a⃗ \cdot b⃗ = 28$

a⃗ \cdot b⃗ = 28

$a⃗ \cdot b⃗ = 28$

a⃗ \cdot b⃗ = 28

$a⃗ \cdot b⃗ = 28$

Bước 3

Tìm độ lớn của

a⃗

$a⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng

2

$2$ lên lũy thừa

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

Bước 3.2.2

Nâng

4

$4$ lên lũy thừa

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{4 + 16}

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Bước 3.2.3

Cộng

4

$4$ và

16

$16$ .

| a⃗ | = \sqrt{20}

$| a⃗ | = \sqrt{20}$

Bước 3.2.4

Viết lại

20

$20$ ở dạng

2^{2} \cdot 5

$2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đưa

4

$4$ ra ngoài

20

$20$ .

| a⃗ | = \sqrt{4 (5)}

$| a⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Bước 3.2.4.2

Viết lại

4

$4$ ở dạng

2^{2}

$2^{2}$ .

| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Bước 3.2.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

| a⃗ | = 2 \sqrt{5}

$| a⃗ | = 2 \sqrt{5}$

| a⃗ | = 2 \sqrt{5}

$| a⃗ | = 2 \sqrt{5}$

| a⃗ | = 2 \sqrt{5}

$| a⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Bước 4

Tìm độ lớn của

b⃗

$b⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

| b⃗ | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 9^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 9^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng

- 4

$- 4$ lên lũy thừa

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{16 + 9^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 9^{2}}$

Bước 4.2.2

Nâng

9

$9$ lên lũy thừa

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{16 + 81}

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 81}$

Bước 4.2.3

Cộng

16

$16$ và

81

$81$ .

| b⃗ | = \sqrt{97}

$| b⃗ | = \sqrt{97}$

| b⃗ | = \sqrt{97}

$| b⃗ | = \sqrt{97}$

| b⃗ | = \sqrt{97}

$| b⃗ | = \sqrt{97}$

Bước 5

Thay các giá trị vào công thức.

θ = arccos (\frac{28}{2 \sqrt{5} \sqrt{97}})

$θ = \arccos (\frac{28}{2 \sqrt{5} \sqrt{97}})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung của

28

$28$ và

2

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa

2

$2$ ra ngoài

28

$28$ .

θ = arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 \sqrt{5} \sqrt{97}})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 \sqrt{5} \sqrt{97}})$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Đưa

2

$2$ ra ngoài

2 \sqrt{5} \sqrt{97}

$2 \sqrt{5} \sqrt{97}$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{2 \cdot 14}{2 (\sqrt{5} \sqrt{97})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 (\sqrt{5} \sqrt{97})})$

Bước 6.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 (\sqrt{5} \sqrt{97})})$

Bước 6.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{5} \sqrt{97}})$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{5 \cdot 97}})$

Bước 6.2.2

Nhân

$5$ với

$97$ .

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{485}})$

Bước 6.3

Nhân

$\frac{14}{\sqrt{485}}$ với

$\frac{\sqrt{485}}{\sqrt{485}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{485}} \cdot \frac{\sqrt{485}}{\sqrt{485}})$

Bước 6.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân

$\frac{14}{\sqrt{485}}$ với

$\frac{\sqrt{485}}{\sqrt{485}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{\sqrt{485} \sqrt{485}})$

Bước 6.4.2

Nâng

$\sqrt{485}$ lên lũy thừa

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{1} \sqrt{485}})$

Bước 6.4.3

Nâng

$\sqrt{485}$ lên lũy thừa

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{1} {\sqrt{485}}^{1}})$

Bước 6.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{1 + 1}})$

Bước 6.4.5

Cộng

$1$ và

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{2}})$

Bước 6.4.6

Viết lại

${\sqrt{485}}^{2}$ ở dạng

$485$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.6.1

Sử dụng

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

$\sqrt{485}$ ở dạng

$485^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{(485^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 6.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 6.4.6.3

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$2$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{1}})$

Bước 6.4.6.5

Tính số mũ.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485})$

Bước 6.5

Tính

$\arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485})$ .

$θ = 50.52754015$

Nhập bài toán CỦA BẠN