Giải tích sơ cấp Ví dụ

$(3, 8)$ , $(9, 12)$

Bước 1

Sử dụng công thức tính tích vô hướng để tìm góc giữa hai vectơ.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Bước 2

Tìm tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tích vô hướng của hai vectơ là tổng tích của các thành phần.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 9 + 8 \cdot 12$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $3$ với $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 8 \cdot 12$

Bước 2.2.1.2

Nhân $8$ với $12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 96$

Bước 2.2.2

Cộng $27$ và $96$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 123$

Bước 3

Tìm độ lớn của $a⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 8^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 8^{2}}$

Bước 3.2.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 64}$

Bước 3.2.3

Cộng $9$ và $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

Bước 4

Tìm độ lớn của $b⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 12^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 12^{2}}$

Bước 4.2.2

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 144}$

Bước 4.2.3

Cộng $81$ và $144$ .

$| b⃗ | = \sqrt{225}$

Bước 4.2.4

Viết lại $225$ ở dạng $15^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{15^{2}}$

Bước 4.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| b⃗ | = 15$

Bước 5

Thay các giá trị vào công thức.

$θ = \arccos (\frac{123}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung của $123$ và $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $123$ .

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $\sqrt{73} \cdot 15$ .

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Bước 6.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 41}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Bước 6.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})$

Bước 6.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\sqrt{73}$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}})$

Bước 6.3

Nhân $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ với $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}})$

Bước 6.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ với $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \sqrt{73} \sqrt{73}})$

Bước 6.4.2

Di chuyển $\sqrt{73}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 (\sqrt{73} \sqrt{73})})$

Bước 6.4.3

Nâng $\sqrt{73}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73})})$

Bước 6.4.4

Nâng $\sqrt{73}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1})})$

Bước 6.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{1 + 1}})$

Bước 6.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{2}})$

Bước 6.4.7

Viết lại ${\sqrt{73}}^{2}$ ở dạng $73$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{73}$ ở dạng $73^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 6.4.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 6.4.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.4.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.4.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{1}})$

Bước 6.4.7.5

Tính số mũ.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})$

Bước 6.5

Nhân $5$ với $73$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$

Bước 6.6

Tính $\arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$ .

$θ = 16.31385242$

Nhập bài toán CỦA BẠN