Giải tích sơ cấp Ví dụ

$(- 7, 7)$ , $(3, 9)$

Bước 1

Sử dụng công thức tính tích vô hướng để tìm góc giữa hai vectơ.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Bước 2

Tìm tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tích vô hướng của hai vectơ là tổng tích của các thành phần.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 7 \cdot 3 + 7 \cdot 9$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $- 7$ với $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 21 + 7 \cdot 9$

Bước 2.2.1.2

Nhân $7$ với $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 21 + 63$

Bước 2.2.2

Cộng $- 21$ và $63$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 42$

Bước 3

Tìm độ lớn của $a⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + 7^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 + 7^{2}}$

Bước 3.2.2

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 + 49}$

Bước 3.2.3

Cộng $49$ và $49$ .

$| a⃗ | = \sqrt{98}$

Bước 3.2.4

Viết lại $98$ ở dạng $7^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đưa $49$ ra ngoài $98$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 (2)}$

Bước 3.2.4.2

Viết lại $49$ ở dạng $7^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{7^{2} \cdot 2}$

Bước 3.2.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| a⃗ | = 7 \sqrt{2}$

Bước 4

Tìm độ lớn của $b⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + 9^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 9^{2}}$

Bước 4.2.2

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 81}$

Bước 4.2.3

Cộng $9$ và $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Bước 4.2.4

Viết lại $90$ ở dạng $3^{2} \cdot 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Đưa $9$ ra ngoài $90$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Bước 4.2.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Bước 5

Thay các giá trị vào công thức.

$θ = \arccos (\frac{42}{7 \sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung của $42$ và $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $7$ ra ngoài $42$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \cdot 6}{7 \sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $7 \sqrt{2} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \cdot 6}{7 (\sqrt{2} (3 \sqrt{10}))})$

Bước 6.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{7 \cdot 6}{7 (\sqrt{2} (3 \sqrt{10}))})$

Bước 6.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{6}{\sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{\sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $\sqrt{2} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{3 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{3 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

Bước 6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2} (\sqrt{10})})$

Bước 6.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2 \cdot 10}})$

Bước 6.3.2

Nhân $2$ với $10$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{20}})$

Bước 6.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{4 (5)}})$

Bước 6.4.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}})$

Bước 6.4.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$θ = \arccos (\frac{2}{2 \sqrt{5}})$

Bước 6.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{2}{2 \sqrt{5}})$

Bước 6.5.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{5}})$

Bước 6.6

Nhân $\frac{1}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Bước 6.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Bước 6.7.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Bước 6.7.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Bước 6.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Bước 6.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Bước 6.7.6

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 6.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 6.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Bước 6.7.6.5

Tính số mũ.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5})$

Bước 6.8

Tính $\arccos (\frac{\sqrt{5}}{5})$ .

$θ = 63.43494882$

Nhập bài toán CỦA BẠN