Ví dụ

S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}]

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}]$

Bước 1

Hạt nhân của một phép biến đổi là một vectơ làm cho phép biến đổi bằng vectơ không (nghịch ảnh của phép biến đổi).

[\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}] = 0

$[\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}] = 0$

Bước 2

Tạo một hệ phương trình từ phương trình vectơ.

a - b - c = 0

$a - b - c = 0$

a - b + c = 0

$a - b + c = 0$

a + b + 5 c = 0

$a + b + 5 c = 0$

Bước 3

Viết hệ phương trình dưới dạng một ma trận.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

Bước 4

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ để số tại

2, 1

$2, 1$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ để số tại

2, 1

$2, 1$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 1 + 1 & 0 - 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 1 + 1 & 0 - 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

Bước 4.1.2

Rút gọn

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

Bước 4.2

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ để số tại

3, 1

$3, 1$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ để số tại

3, 1

$3, 1$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 1 & 5 + 1 & 0 - 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 1 & 5 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Bước 4.2.2

Rút gọn

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3

Hoán đổi

R_{3}

$R_{3}$ với

R_{2}

$R_{2}$ để đặt một số khác không tại

2, 2

$2, 2$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Bước 4.4

Nhân mỗi phần tử của

R_{2}

$R_{2}$ với

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ để số tại

2, 2

$2, 2$ trở thành

1

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân mỗi phần tử của

R_{2}

$R_{2}$ với

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ để số tại

2, 2

$2, 2$ trở thành

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Bước 4.4.2

Rút gọn

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Bước 4.5

Nhân mỗi phần tử của

R_{3}

$R_{3}$ với

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ để số tại

3, 3

$3, 3$ trở thành

1

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân mỗi phần tử của

R_{3}

$R_{3}$ với

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ để số tại

3, 3

$3, 3$ trở thành

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

Bước 4.5.2

Rút gọn

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 4.6

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ để số tại

2, 3

$2, 3$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ để số tại

2, 3

$2, 3$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 4.6.2

Rút gọn

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 4.7

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{1} = R_{1} + R_{3}

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ để số tại

1, 3

$1, 3$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{1} = R_{1} + R_{3}

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ để số tại

1, 3

$1, 3$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 4.7.2

Rút gọn

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 4.8

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{1} = R_{1} + R_{2}

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ để số tại

1, 2

$1, 2$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{1} = R_{1} + R_{2}

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ để số tại

1, 2

$1, 2$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 4.8.2

Rút gọn

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 5

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

a = 0

$a = 0$

b = 0

$b = 0$

c = 0

$c = 0$

Bước 6

Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.

[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Bước 7

Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.

{[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Bước 8

Hạ nhân của

S

$S$ là không gian con

{[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ .

K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Nhập bài toán CỦA BẠN