Đại số tuyến tính Ví dụ

$a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 1

Tìm tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tích vô hướng của hai vectơ là tổng tích của các thành phần.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Bước 1.2.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1$

Bước 1.2.1.3

Nhân $2$ với $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

Bước 1.2.2

Cộng $2$ và $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2$

Bước 1.2.3

Cộng $8$ và $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

Bước 2

Tìm độ dài của $b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}$

Bước 2.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}$

Bước 2.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}$

Bước 2.2.4

Cộng $1$ và $4$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}$

Bước 2.2.5

Cộng $5$ và $1$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

Bước 3

Tìm hình chiếu của $a⃗$ lên $b⃗$ bằng công thức phép chiếu.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Bước 4

Thay $10$ bằng $a⃗ \cdot b⃗$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Bước 5

Thay $\sqrt{6}$ bằng $| | b⃗ | |$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗$

Bước 6

Thay $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ bằng $b⃗$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 7

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại ${\sqrt{6}}^{2}$ ở dạng $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6}$ ở dạng $6^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 7.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 7.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 7.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 7.1.4.2

Viết lại biểu thức.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 7.1.5

Tính số mũ.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 7.3

Nhân $\frac{5}{3}$ với mỗi phần tử của ma trận.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 7.4

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $\frac{5}{3}$ với $1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 7.4.2

Nhân $\frac{5}{3} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 7.4.2.2

Nhân $5$ với $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 7.4.3

Nhân $\frac{5}{3}$ với $1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

Nhập bài toán CỦA BẠN