Đại số tuyến tính Ví dụ

(2, 0, 1)

$(2, 0, 1)$ ,

(- 2, 1, 1)

$(- 2, 1, 1)$

Bước 1

Sử dụng công thức tính tích chéo để tìm góc giữa hai vectơ.

θ = arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Bước 2

Tìm tích chéo.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tích chéo của hai vectơ

a⃗

$a⃗$ và

b⃗

$b⃗$ có thể viết dưới dạng định thức với các vectơ đơn vị chuẩn từ

$ℝ^{3}$ và phần tử của các vectơ đã cho.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Bước 2.2

Lập định thức với các giá trị đã cho.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \end{array} |$

Bước 2.3

Chọn hàng hoặc cột có nhiều phần tử

$0$ nhất. Nếu không có phần tử

$0$ nào, hãy chọn hàng hoặc cột bất kỳ. Nhân mỗi phần tử trong hàng

$1$ với đồng hệ số tương ứng rồi cộng lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Xem xét biểu đồ dấu tương ứng.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 2.3.2

Đồng hệ số là định thức con có dấu thay đổi nếu các chỉ số khớp với vị trí

$-$ trên biểu đồ dấu.

Bước 2.3.3

Định thức con của

$a_{11}$ là định thức có hàng

$1$ và cột

$1$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Bước 2.3.4

Nhân phần tử

$a_{11}$ với đồng hệ số tương ứng.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î$

Bước 2.3.5

Định thức con của

$a_{12}$ là định thức có hàng

$1$ và cột

$2$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Bước 2.3.6

Nhân phần tử

$a_{12}$ với đồng hệ số tương ứng.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ$

Bước 2.3.7

Định thức con của

$a_{13}$ là định thức có hàng

$1$ và cột

$3$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Bước 2.3.8

Nhân phần tử

$a_{13}$ với đồng hệ số tương ứng.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Bước 2.3.9

Cộng các số hạng với nhau.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Bước 2.4

Tính

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Có thể tìm được định thức của một

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Bước 2.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Nhân

$0$ với

$1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Bước 2.4.2.1.2

Nhân

$- 1$ với

$1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Bước 2.4.2.2

Trừ

$1$ khỏi

$0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Bước 2.5

Tính

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Có thể tìm được định thức của một

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Bước 2.5.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Nhân

$2$ với

$1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Bước 2.5.2.1.2

Nhân

$- (- 2 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.2.1

Nhân

$- 2$ với

$1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - - 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Bước 2.5.2.1.2.2

Nhân

$- 1$ với

$- 2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 + 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Bước 2.5.2.2

Cộng

$2$ và

$2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Bước 2.6

Tính

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Có thể tìm được định thức của một

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Bước 2.6.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.1

Nhân

$2$ với

$1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Bước 2.6.2.1.2

Nhân

$- (- 2 \cdot 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.2.1

Nhân

$- 2$ với

$0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - 0) k̂$

Bước 2.6.2.1.2.2

Nhân

$- 1$ với

$0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 + 0) k̂$

Bước 2.6.2.2

Cộng

$2$ và

$0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + 2 k̂$

Bước 2.7

Nhân

$- 1$ với

$4$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 4 ĵ + 2 k̂$

Bước 2.8

Viết lại lời giải.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1, - 4, 2)$

Bước 3

Tìm độ lớn của tích chéo.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng

$- 1$ lên lũy thừa

$2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Bước 3.2.2

Nâng

$- 4$ lên lũy thừa

$2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 2^{2}}$

Bước 3.2.3

Nâng

$2$ lên lũy thừa

$2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 4}$

Bước 3.2.4

Cộng

$1$ và

$16$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{17 + 4}$

Bước 3.2.5

Cộng

$17$ và

$4$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{21}$

Bước 4

Tìm độ lớn của

$a⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 1^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng

$2$ lên lũy thừa

$2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2} + 1^{2}}$

Bước 4.2.2

Nâng

$0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho

$0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1^{2}}$

Bước 4.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1}$

Bước 4.2.4

Cộng

$4$ và

$0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Bước 4.2.5

Cộng

$4$ và

$1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Bước 5

Tìm độ lớn của

$b⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng

$- 2$ lên lũy thừa

$2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2} + 1^{2}}$

Bước 5.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1^{2}}$

Bước 5.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1}$

Bước 5.2.4

Cộng

$4$ và

$1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5 + 1}$

Bước 5.2.5

Cộng

$5$ và

$1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{6}$

Bước 6

Thay các giá trị vào công thức.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{5} \sqrt{6}})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp

$\sqrt{21}$ và

$\sqrt{6}$ vào một căn thức đơn.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{21}{6}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung của

$21$ và

$6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đưa

$3$ ra ngoài

$21$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 (7)}{6}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa

$3$ ra ngoài

$6$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại

$\sqrt{\frac{7}{2}}$ ở dạng

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3.2

Nhân

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ với

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Nhân

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ với

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3.3.2

Nâng

$\sqrt{2}$ lên lũy thừa

$1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3.3.3

Nâng

$\sqrt{2}$ lên lũy thừa

$1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3.3.5

Cộng

$1$ và

$1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3.3.6

Viết lại

${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.6.1

Sử dụng

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

$\sqrt{2}$ ở dạng

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3.3.6.3

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{1}}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3.3.6.5

Tính số mũ.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.4.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3.4.2

Nhân

$7$ với

$2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}})$

Bước 7.5

Nhân

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ với

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

Bước 7.6

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Nhân

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ với

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Bước 7.6.2

Nâng

$\sqrt{5}$ lên lũy thừa

$1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Bước 7.6.3

Nâng

$\sqrt{5}$ lên lũy thừa

$1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Bước 7.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Bước 7.6.5

Cộng

$1$ và

$1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Bước 7.6.6

Viết lại

${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng

$5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.6.1

Sử dụng

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

$\sqrt{5}$ ở dạng

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 7.6.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 7.6.6.3

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Bước 7.6.6.4

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Bước 7.6.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Bước 7.6.6.5

Tính số mũ.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5})$

Bước 7.7

Nhân

$\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Nhân

$\frac{\sqrt{14}}{2}$ với

$\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14} \sqrt{5}}{2 \cdot 5})$

Bước 7.7.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14 \cdot 5}}{2 \cdot 5})$

Bước 7.7.3

Nhân

$14$ với

$5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{2 \cdot 5})$

Bước 7.7.4

Nhân

$2$ với

$5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$

Bước 7.8

Tính

$\arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$ .

$θ = 56.78908923$

Nhập bài toán CỦA BẠN