Đại số tuyến tính Ví dụ

S = {[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ - 1 \\ 3 \\ 4 \end{array}]}

$S = {[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ - 1 \\ 3 \\ 4 \end{array}]}$

Bước 1

Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho

A x = 0

$A x = 0$ .

[\begin{array}{c} 2 & 6 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & 6 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Bước 2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân mỗi phần tử của

R_{1}

$R_{1}$ với

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ để số tại

1, 1

$1, 1$ trở thành

1

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhân mỗi phần tử của

R_{1}

$R_{1}$ với

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ để số tại

1, 1

$1, 1$ trở thành

1

$1$ .

[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ - 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ - 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Bước 2.1.2

Rút gọn

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Bước 2.2

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} + R_{1}

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ để số tại

2, 1

$2, 1$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} + R_{1}

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ để số tại

2, 1

$2, 1$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + 1 \cdot 3 & 0 + 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + 1 \cdot 3 & 0 + 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Bước 2.2.2

Rút gọn

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Bước 2.3

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ để số tại

3, 1

$3, 1$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ để số tại

3, 1

$3, 1$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 3 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 3 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Bước 2.3.2

Rút gọn

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Bước 2.4

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{4} = R_{4} - 4 R_{1}

$R_{4} = R_{4} - 4 R_{1}$ để số tại

4, 1

$4, 1$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{4} = R_{4} - 4 R_{1}

$R_{4} = R_{4} - 4 R_{1}$ để số tại

4, 1

$4, 1$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 3 - 4 \cdot 3 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 3 - 4 \cdot 3 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Bước 2.4.2

Rút gọn

R_{4}

$R_{4}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Bước 2.5

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}

$R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ để số tại

5, 1

$5, 1$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}

$R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ để số tại

5, 1

$5, 1$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 4 - 2 \cdot 3 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 4 - 2 \cdot 3 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 2.5.2

Rút gọn

R_{5}

$R_{5}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Bước 2.6

Nhân mỗi phần tử của

R_{2}

$R_{2}$ với

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ để số tại

2, 2

$2, 2$ trở thành

1

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân mỗi phần tử của

R_{2}

$R_{2}$ với

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ để số tại

2, 2

$2, 2$ trở thành

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Bước 2.6.2

Rút gọn

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Bước 2.7

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ để số tại

3, 2

$3, 2$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ để số tại

3, 2

$3, 2$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & 0 + 10 \cdot 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & 0 + 10 \cdot 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Bước 2.7.2

Rút gọn

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Bước 2.8

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{4} = R_{4} + 9 R_{2}

$R_{4} = R_{4} + 9 R_{2}$ để số tại

4, 2

$4, 2$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{4} = R_{4} + 9 R_{2}

$R_{4} = R_{4} + 9 R_{2}$ để số tại

4, 2

$4, 2$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Bước 2.8.2

Rút gọn

R_{4}

$R_{4}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Bước 2.9

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{5} = R_{5} + 2 R_{2}

$R_{5} = R_{5} + 2 R_{2}$ để số tại

5, 2

$5, 2$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{5} = R_{5} + 2 R_{2}

$R_{5} = R_{5} + 2 R_{2}$ để số tại

5, 2

$5, 2$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 2.9.2

Rút gọn

R_{5}

$R_{5}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 2.10

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ để số tại

1, 2

$1, 2$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ để số tại

1, 2

$1, 2$ trở thành

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 2.10.2

Rút gọn

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

x = 0

$x = 0$

y = 0

$y = 0$

0 = 0

$0 = 0$

0 = 0

$0 = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Bước 4

Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Bước 5

Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.

{[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]}$

Nhập bài toán CỦA BẠN