Đại số tuyến tính Ví dụ

x + 2 y + z = 3

$x + 2 y + z = 3$ ,

2 x - y - 3 z = 5

$2 x - y - 3 z = 5$ ,

4 x + 3 y - z = k

$4 x + 3 y - z = k$

Bước 1

Trừ

k

$k$ khỏi cả hai vế của phương trình.

x + 2 y + z = 3, 2 x - y - 3 z = 5, 4 x + 3 y - z - k = 0

$x + 2 y + z = 3, 2 x - y - 3 z = 5, 4 x + 3 y - z - k = 0$

Bước 2

Viết hệ phương trình ở dạng ma trận.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 2 & - 1 & - 3 & 5 - 1 k & 3 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & - 1 & - 3 & 5 \\ - 1 k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại

- 1 k

$- 1 k$ ở dạng

- k

$- k$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 2 & - 1 & - 3 & 5 - k & 3 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & - 1 & - 3 & 5 \\ - k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.2

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ để số tại

2, 1

$2, 1$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ để số tại

2, 1

$2, 1$ trở thành

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 2 & - 3 - 2 \cdot 1 & 5 - 2 \cdot 3 - k & 3 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 2 & - 3 - 2 \cdot 1 & 5 - 2 \cdot 3 \\ - k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.2.2

Rút gọn

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & - 5 & - 5 & - 1 - k & 3 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ - k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & - 5 & - 5 & - 1 - k & 3 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ - k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} + k R_{1}

$R_{3} = R_{3} + k R_{1}$ để số tại

3, 1

$3, 1$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} + k R_{1}

$R_{3} = R_{3} + k R_{1}$ để số tại

3, 1

$3, 1$ trở thành

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & - 5 & - 5 & - 1 - k + k \cdot 1 & 3 + k \cdot 2 & - 1 + k \cdot 1 & 0 + k \cdot 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ - k + k \cdot 1 & 3 + k \cdot 2 & - 1 + k \cdot 1 & 0 + k \cdot 3 \end{array}]$

Bước 3.3.2

Rút gọn

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & - 5 & - 5 & - 1 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & - 5 & - 5 & - 1 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{array}]$

Bước 3.4

Nhân mỗi phần tử của

R_{2}

$R_{2}$ với

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ để số tại

2, 2

$2, 2$ trở thành

1

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân mỗi phần tử của

R_{2}

$R_{2}$ với

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ để số tại

2, 2

$2, 2$ trở thành

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 1 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 1 \\ 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{array}]$

Bước 3.4.2

Rút gọn

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{array}]$

Bước 3.5

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} - (3 + 2 k) R_{2}

$R_{3} = R_{3} - (3 + 2 k) R_{2}$ để số tại

3, 2

$3, 2$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{3} = R_{3} - (3 + 2 k) R_{2}

$R_{3} = R_{3} - (3 + 2 k) R_{2}$ để số tại

3, 2

$3, 2$ trở thành

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} 0 - (3 + 2 k) \cdot 0 & 3 + 2 k - (3 + 2 k) \cdot 1 & - 1 + k - (3 + 2 k) \cdot 1 & 3 k - (3 + 2 k) \frac{1}{5} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 - (3 + 2 k) \cdot 0 & 3 + 2 k - (3 + 2 k) \cdot 1 & - 1 + k - (3 + 2 k) \cdot 1 & 3 k - (3 + 2 k) \frac{1}{5} \end{array}]$

Bước 3.5.2

Rút gọn

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} 0 & 0 & - k - 4 & \frac{13 k - 3}{5} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & - k - 4 & \frac{13 k - 3}{5} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} 0 & 0 & - k - 4 & \frac{13 k - 3}{5} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & - k - 4 & \frac{13 k - 3}{5} \end{array}]$

Bước 3.6

Nhân mỗi phần tử của

R_{3}

$R_{3}$ với

\frac{1}{- k - 4}

$\frac{1}{- k - 4}$ để số tại

3, 3

$3, 3$ trở thành

1

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân mỗi phần tử của

R_{3}

$R_{3}$ với

\frac{1}{- k - 4}

$\frac{1}{- k - 4}$ để số tại

3, 3

$3, 3$ trở thành

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \frac{0}{- k - 4} & \frac{0}{- k - 4} & \frac{- k - 4}{- k - 4} & \frac{\frac{13 k - 3}{5}}{- k - 4} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ \frac{0}{- k - 4} & \frac{0}{- k - 4} & \frac{- k - 4}{- k - 4} & \frac{\frac{13 k - 3}{5}}{- k - 4} \end{array}]$

Bước 3.6.2

Rút gọn

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

Bước 3.7

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} - R_{3}

$R_{2} = R_{2} - R_{3}$ để số tại

2, 3

$2, 3$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{2} = R_{2} - R_{3}

$R_{2} = R_{2} - R_{3}$ để số tại

2, 3

$2, 3$ trở thành

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{1}{5} + \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{1}{5} + \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

Bước 3.7.2

Rút gọn

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

Bước 3.8

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{1} = R_{1} - R_{3}

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ để số tại

1, 3

$1, 3$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{1} = R_{1} - R_{3}

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ để số tại

1, 3

$1, 3$ trở thành

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 0 & 2 - 0 & 1 - 1 & 3 + \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 2 - 0 & 1 - 1 & 3 + \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

Bước 3.8.2

Rút gọn

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & \frac{28 k + 57}{5 (k + 4)} 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & \frac{28 k + 57}{5 (k + 4)} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & \frac{28 k + 57}{5 (k + 4)} 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & \frac{28 k + 57}{5 (k + 4)} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

Bước 3.9

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ để số tại

1, 2

$1, 2$ trở thành

0

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Thực hiện phép biến đổi hàng

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ để số tại

1, 2

$1, 2$ trở thành

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & \frac{28 k + 57}{5 (k + 4)} - 2 \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & \frac{28 k + 57}{5 (k + 4)} - 2 \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

Bước 3.9.2

Rút gọn

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

Bước 4

Vì

- \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)}

$- \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)}$ không xác định khi

k = - 4

$k = - 4$ , nên

k = - 4

$k = - 4$ làm cho hệ phương trình không có đáp án.

k = - 4

$k = - 4$

Nhập bài toán CỦA BẠN