Đại số tuyến tính Ví dụ
[-36-11-71-223-12-458-4]⎡⎢⎣−36−11−71−223−12−458−4⎤⎥⎦
Bước 1
Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho Ax=0Ax=0.
[-36-11-701-223-102-458-40]⎡⎢
⎢⎣−36−11−701−223−102−458−40⎤⎥
⎥⎦
Bước 2
Bước 2.1
Nhân mỗi phần tử của R1R1 với -13−13 để số tại 1,11,1 trở thành 11.
Bước 2.1.1
Nhân mỗi phần tử của R1R1 với -13−13 để số tại 1,11,1 trở thành 11.
[-13⋅-3-13⋅6-13⋅-1-13⋅1-13⋅-7-13⋅01-223-102-458-40]⎡⎢
⎢⎣−13⋅−3−13⋅6−13⋅−1−13⋅1−13⋅−7−13⋅01−223−102−458−40⎤⎥
⎥⎦
Bước 2.1.2
Rút gọn R1R1.
[1-213-137301-223-102-458-40]⎡⎢
⎢⎣1−213−137301−223−102−458−40⎤⎥
⎥⎦
[1-213-137301-223-102-458-40]⎡⎢
⎢⎣1−213−137301−223−102−458−40⎤⎥
⎥⎦
Bước 2.2
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-R1R2=R2−R1 để số tại 2,12,1 trở thành 00.
Bước 2.2.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-R1R2=R2−R1 để số tại 2,12,1 trở thành 00.
[1-213-137301-1-2+22-133+13-1-730-02-458-40]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−213−137301−1−2+22−133+13−1−730−02−458−40⎤⎥
⎥
⎥⎦
Bước 2.2.2
Rút gọn R2R2.
[1-213-137300053103-10302-458-40]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300053103−10302−458−40⎤⎥
⎥
⎥⎦
[1-213-137300053103-10302-458-40]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300053103−10302−458−40⎤⎥
⎥
⎥⎦
Bước 2.3
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-2R1R3=R3−2R1 để số tại 3,13,1 trở thành 00.
Bước 2.3.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-2R1R3=R3−2R1 để số tại 3,13,1 trở thành 00.
[1-213-137300053103-10302-2⋅1-4-2⋅-25-2(13)8-2(-13)-4-2(73)0-2⋅0]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300053103−10302−2⋅1−4−2⋅−25−2(13)8−2(−13)−4−2(73)0−2⋅0⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 2.3.2
Rút gọn R3R3.
[1-213-137300053103-103000133263-2630]⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300053103−103000133263−2630⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[1-213-137300053103-103000133263-2630]⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300053103−103000133263−2630⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 2.4
Nhân mỗi phần tử của R2R2 với 3535 để số tại 2,32,3 trở thành 11.
Bước 2.4.1
Nhân mỗi phần tử của R2R2 với 3535 để số tại 2,32,3 trở thành 11.
[1-213-1373035⋅035⋅035⋅5335⋅10335(-103)35⋅000133263-2630]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−213−1373035⋅035⋅035⋅5335⋅10335(−103)35⋅000133263−2630⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 2.4.2
Rút gọn R2R2.
[1-213-137300012-2000133263-2630]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300012−2000133263−2630⎤⎥
⎥
⎥⎦
[1-213-137300012-2000133263-2630]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300012−2000133263−2630⎤⎥
⎥
⎥⎦
Bước 2.5
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-133R2R3=R3−133R2 để số tại 3,33,3 trở thành 00.
Bước 2.5.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-133R2R3=R3−133R2 để số tại 3,33,3 trở thành 00.
[1-213-137300012-200-133⋅00-133⋅0133-133⋅1263-133⋅2-263-133⋅-20-133⋅0]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300012−200−133⋅00−133⋅0133−133⋅1263−133⋅2−263−133⋅−20−133⋅0⎤⎥
⎥
⎥⎦
Bước 2.5.2
Rút gọn R3R3.
[1-213-137300012-20000000]⎡⎢
⎢⎣1−213−137300012−20000000⎤⎥
⎥⎦
[1-213-137300012-20000000]⎡⎢
⎢⎣1−213−137300012−20000000⎤⎥
⎥⎦
Bước 2.6
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1-13R2R1=R1−13R2 để số tại 1,31,3 trở thành 00.
Bước 2.6.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1-13R2R1=R1−13R2 để số tại 1,31,3 trở thành 00.
[1-13⋅0-2-13⋅013-13⋅1-13-13⋅273-13⋅-20-13⋅00012-20000000]⎡⎢
⎢⎣1−13⋅0−2−13⋅013−13⋅1−13−13⋅273−13⋅−20−13⋅00012−20000000⎤⎥
⎥⎦
Bước 2.6.2
Rút gọn R1R1.
[1-20-1300012-20000000]⎡⎢
⎢⎣1−20−1300012−20000000⎤⎥
⎥⎦
[1-20-1300012-20000000]⎡⎢
⎢⎣1−20−1300012−20000000⎤⎥
⎥⎦
[1-20-1300012-20000000]⎡⎢
⎢⎣1−20−1300012−20000000⎤⎥
⎥⎦
Bước 3
Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.
x1-2x2-x4+3x5=0x1−2x2−x4+3x5=0
x3+2x4-2x5=0x3+2x4−2x5=0
0=00=0
Bước 4
Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.
[x1x2x3x4x5]=[2x2+x4-3x5x2-2x4+2x5x4x5]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣x1x2x3x4x5⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣2x2+x4−3x5x2−2x4+2x5x4x5⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 5
Viết nghiệm dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.
[x1x2x3x4x5]=x2[21000]+x4[10-210]+x5[-30201]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣x1x2x3x4x5⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦=x2⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣21000⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦+x4⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣10−210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦+x5⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣−30201⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 6
Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.
{x2[21000]+x4[10-210]+x5[-30201]|x2,x4,x5∈R}⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩x2⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣21000⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦+x4⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣10−210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦+x5⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣−30201⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦∣∣
∣
∣
∣
∣
∣∣x2,x4,x5∈R⎫⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎬⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎭
Bước 7
Đáp án là tập hợp các vectơ được tạo ra từ các biến tự do của hệ phương trình.
{[21000],[10-210],[-30201]}⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣21000⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦,⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣10−210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦,⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣−30201⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⎫⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎬⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎭
Bước 8
Bước 8.1
Liệt kê các vectơ.
[21000],[10-210],[-30201]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣21000⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦,⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣10−210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦,⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣−30201⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 8.2
Viết các vectơ dưới dạng ma trận.
[21-31000-22010001]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣21−31000−22010001⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 8.3
Để xác định xem các cột trong ma trận có phụ thuộc tuyến tính hay không, hãy xác định xem phương trình Ax=0Ax=0 có nghiệm không tầm thường hay không.
Bước 8.4
Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho Ax=0Ax=0.
[21-3010000-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣21−3010000−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 8.5
Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.
Bước 8.5.1
Nhân mỗi phần tử của R1R1 với 1212 để số tại 1,11,1 trở thành 11.
Bước 8.5.1.1
Nhân mỗi phần tử của R1R1 với 1212 để số tại 1,11,1 trở thành 11.
[2212-320210000-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣2212−320210000−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 8.5.1.2
Rút gọn R1R1.
[112-32010000-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32010000−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112-32010000-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32010000−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 8.5.2
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-R1R2=R2−R1 để số tại 2,12,1 trở thành 00.
Bước 8.5.2.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-R1R2=R2−R1 để số tại 2,12,1 trở thành 00.
[112-3201-10-120+320-00-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−3201−10−120+320−00−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 8.5.2.2
Rút gọn R2R2.
[112-3200-123200-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−3200−123200−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112-3200-123200-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−3200−123200−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 8.5.3
Nhân mỗi phần tử của R2R2 với -2−2 để số tại 2,22,2 trở thành 11.
Bước 8.5.3.1
Nhân mỗi phần tử của R2R2 với -2−2 để số tại 2,22,2 trở thành 11.
[112-320-2⋅0-2(-12)-2(32)-2⋅00-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−320−2⋅0−2(−12)−2(32)−2⋅00−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 8.5.3.2
Rút gọn R2R2.
[112-32001-300-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−300−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112-32001-300-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−300−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 8.5.4
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3+2R2R3=R3+2R2 để số tại 3,23,2 trở thành 00.
Bước 8.5.4.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3+2R2R3=R3+2R2 để số tại 3,23,2 trở thành 00.
[112-32001-300+2⋅0-2+2⋅12+2⋅-30+2⋅001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−300+2⋅0−2+2⋅12+2⋅−30+2⋅001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 8.5.4.2
Rút gọn R3R3.
[112-32001-3000-4001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−3000−4001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112-32001-3000-4001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−3000−4001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 8.5.5
Thực hiện phép biến đổi hàng R4=R4-R2R4=R4−R2 để số tại 4,2 trở thành 0.
Bước 8.5.5.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R4=R4-R2 để số tại 4,2 trở thành 0.
[112-32001-3000-400-01-10+30-00010]
Bước 8.5.5.2
Rút gọn R4.
[112-32001-3000-4000300010]
[112-32001-3000-4000300010]
Bước 8.5.6
Nhân mỗi phần tử của R3 với -14 để số tại 3,3 trở thành 1.
Bước 8.5.6.1
Nhân mỗi phần tử của R3 với -14 để số tại 3,3 trở thành 1.
[112-32001-30-14⋅0-14⋅0-14⋅-4-14⋅000300010]
Bước 8.5.6.2
Rút gọn R3.
[112-32001-30001000300010]
[112-32001-30001000300010]
Bước 8.5.7
Thực hiện phép biến đổi hàng R4=R4-3R3 để số tại 4,3 trở thành 0.
Bước 8.5.7.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R4=R4-3R3 để số tại 4,3 trở thành 0.
[112-32001-3000100-3⋅00-3⋅03-3⋅10-3⋅00010]
Bước 8.5.7.2
Rút gọn R4.
[112-32001-30001000000010]
[112-32001-30001000000010]
Bước 8.5.8
Thực hiện phép biến đổi hàng R5=R5-R3 để số tại 5,3 trở thành 0.
Bước 8.5.8.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R5=R5-R3 để số tại 5,3 trở thành 0.
[112-32001-30001000000-00-01-10-0]
Bước 8.5.8.2
Rút gọn R5.
[112-32001-30001000000000]
[112-32001-30001000000000]
Bước 8.5.9
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2+3R3 để số tại 2,3 trở thành 0.
Bước 8.5.9.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2+3R3 để số tại 2,3 trở thành 0.
[112-3200+3⋅01+3⋅0-3+3⋅10+3⋅0001000000000]
Bước 8.5.9.2
Rút gọn R2.
[112-3200100001000000000]
[112-3200100001000000000]
Bước 8.5.10
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1+32R3 để số tại 1,3 trở thành 0.
Bước 8.5.10.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1+32R3 để số tại 1,3 trở thành 0.
[1+32⋅012+32⋅0-32+32⋅10+32⋅00100001000000000]
Bước 8.5.10.2
Rút gọn R1.
[112000100001000000000]
[112000100001000000000]
Bước 8.5.11
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1-12R2 để số tại 1,2 trở thành 0.
Bước 8.5.11.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1-12R2 để số tại 1,2 trở thành 0.
[1-12⋅012-12⋅10-12⋅00-12⋅00100001000000000]
Bước 8.5.11.2
Rút gọn R1.
[10000100001000000000]
[10000100001000000000]
[10000100001000000000]
Bước 8.6
Loại bỏ các hàng có tất cả giá trị đều bằng không.
[100001000010]
Bước 8.7
Viết ma trận ở dạng một hệ phương trình bậc nhất.
x=0
y=0
z=0
Bước 8.8
Vì nghiệm duy nhất của Ax=0 là nghiệm tầm thường nên các vectơ không phụ thuộc tuyến tính.
Độc lập tuyến tính
Độc lập tuyến tính
Bước 9
Vì vectơ độc lập tuyến tính nên chúng sẽ tạo thành cơ sở cho không gian hạch của ma trận.
Cơ sở của Nul(A): {[21000],[10-210],[-30201]}
Kích thước của Nul(A): 3
