Đại số tuyến tính Ví dụ
[5202504-14]⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦
Bước 1
Bước 1.1
Tìm các trị riêng.
Bước 1.1.1
Lập công thức để tìm phương trình đặc trưng p(λ)p(λ).
p(λ)=định thức(A-λI3)
Bước 1.1.2
Ma trận đơn vị cỡ 3 là ma trận vuông 3×3 có đường chéo chính gồm các hệ số một và phần còn lại là các hệ số không.
[100010001]
Bước 1.1.3
Thay các giá trị đã biết vào p(λ)=định thức(A-λI3).
Bước 1.1.3.1
Thay [5202504-14] bằng A.
p(λ)=định thức([5202504-14]-λI3)
Bước 1.1.3.2
Thay [100010001] bằng I3.
p(λ)=định thức([5202504-14]-λ[100010001])
p(λ)=định thức([5202504-14]-λ[100010001])
Bước 1.1.4
Rút gọn.
Bước 1.1.4.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 1.1.4.1.1
Nhân -λ với mỗi phần tử của ma trận.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.1.4.1.2
Rút gọn từng phần tử trong ma trận.
Bước 1.1.4.1.2.1
Nhân -1 với 1.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.1.4.1.2.2
Nhân -λ⋅0.
Bước 1.1.4.1.2.2.1
Nhân 0 với -1.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.1.4.1.2.2.2
Nhân 0 với λ.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.1.4.1.2.3
Nhân -λ⋅0.
Bước 1.1.4.1.2.3.1
Nhân 0 với -1.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.1.4.1.2.3.2
Nhân 0 với λ.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.1.4.1.2.4
Nhân -λ⋅0.
Bước 1.1.4.1.2.4.1
Nhân 0 với -1.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.1.4.1.2.4.2
Nhân 0 với λ.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.1.4.1.2.5
Nhân -1 với 1.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.1.4.1.2.6
Nhân -λ⋅0.
Bước 1.1.4.1.2.6.1
Nhân 0 với -1.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.1.4.1.2.6.2
Nhân 0 với λ.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.1.4.1.2.7
Nhân -λ⋅0.
Bước 1.1.4.1.2.7.1
Nhân 0 với -1.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.1.4.1.2.7.2
Nhân 0 với λ.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.1.4.1.2.8
Nhân -λ⋅0.
Bước 1.1.4.1.2.8.1
Nhân 0 với -1.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
Bước 1.1.4.1.2.8.2
Nhân 0 với λ.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
Bước 1.1.4.1.2.9
Nhân -1 với 1.
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=định thức([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])
Bước 1.1.4.2
Cộng các phần tử tương ứng với nhau.
p(λ)=định thức[5-λ2+00+02+05-λ0+04+0-1+04-λ]
Bước 1.1.4.3
Rút gọn từng phần tử.
Bước 1.1.4.3.1
Cộng 2 và 0.
p(λ)=định thức[5-λ20+02+05-λ0+04+0-1+04-λ]
Bước 1.1.4.3.2
Cộng 0 và 0.
p(λ)=định thức[5-λ202+05-λ0+04+0-1+04-λ]
Bước 1.1.4.3.3
Cộng 2 và 0.
p(λ)=định thức[5-λ2025-λ0+04+0-1+04-λ]
Bước 1.1.4.3.4
Cộng 0 và 0.
p(λ)=định thức[5-λ2025-λ04+0-1+04-λ]
Bước 1.1.4.3.5
Cộng 4 và 0.
p(λ)=định thức[5-λ2025-λ04-1+04-λ]
Bước 1.1.4.3.6
Cộng -1 và 0.
p(λ)=định thức[5-λ2025-λ04-14-λ]
p(λ)=định thức[5-λ2025-λ04-14-λ]
p(λ)=định thức[5-λ2025-λ04-14-λ]
Bước 1.1.5
Tìm định thức.
Bước 1.1.5.1
Chọn hàng hoặc cột có nhiều phần tử 0 nhất. Nếu không có phần tử 0 nào, hãy chọn hàng hoặc cột bất kỳ. Nhân mỗi phần tử trong cột 3 với đồng hệ số tương ứng rồi cộng lại.
Bước 1.1.5.1.1
Xem xét biểu đồ dấu tương ứng.
|+-+-+-+-+|
Bước 1.1.5.1.2
Đồng hệ số là định thức con có dấu thay đổi nếu các chỉ số khớp với vị trí - trên biểu đồ dấu.
Bước 1.1.5.1.3
Định thức con của a13 là định thức có hàng 1 và cột 3 bị xóa.
|25-λ4-1|
Bước 1.1.5.1.4
Nhân phần tử a13 với đồng hệ số tương ứng.
0|25-λ4-1|
Bước 1.1.5.1.5
Định thức con của a23 là định thức có hàng 2 và cột 3 bị xóa.
|5-λ24-1|
Bước 1.1.5.1.6
Nhân phần tử a23 với đồng hệ số tương ứng.
0|5-λ24-1|
Bước 1.1.5.1.7
Định thức con của a33 là định thức có hàng 3 và cột 3 bị xóa.
|5-λ225-λ|
Bước 1.1.5.1.8
Nhân phần tử a33 với đồng hệ số tương ứng.
(4-λ)|5-λ225-λ|
Bước 1.1.5.1.9
Cộng các số hạng với nhau.
p(λ)=0|25-λ4-1|+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|
p(λ)=0|25-λ4-1|+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|
Bước 1.1.5.2
Nhân 0 với |25-λ4-1|.
p(λ)=0+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|
Bước 1.1.5.3
Nhân 0 với |5-λ24-1|.
p(λ)=0+0+(4-λ)|5-λ225-λ|
Bước 1.1.5.4
Tính |5-λ225-λ|.
Bước 1.1.5.4.1
Có thể tìm được định thức của một 2×2 ma trận bằng công thức |abcd|=ad-cb.
p(λ)=0+0+(4-λ)((5-λ)(5-λ)-2⋅2)
Bước 1.1.5.4.2
Rút gọn định thức.
Bước 1.1.5.4.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 1.1.5.4.2.1.1
Khai triển (5-λ)(5-λ) bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.
Bước 1.1.5.4.2.1.1.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5(5-λ)-λ(5-λ)-2⋅2)
Bước 1.1.5.4.2.1.1.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5⋅5+5(-λ)-λ(5-λ)-2⋅2)
Bước 1.1.5.4.2.1.1.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5⋅5+5(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(5⋅5+5(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
Bước 1.1.5.4.2.1.2
Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.
Bước 1.1.5.4.2.1.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.1
Nhân 5 với 5.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25+5(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.2
Nhân -1 với 5.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.3
Nhân 5 với -1.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-λ(-λ)-2⋅2)
Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.4
Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1λ⋅λ-2⋅2)
Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.5
Nhân λ với λ bằng cách cộng các số mũ.
Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1
Di chuyển λ.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1(λ⋅λ)-2⋅2)
Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2
Nhân λ với λ.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1λ2-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1λ2-2⋅2)
Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.6
Nhân -1 với -1.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+1λ2-2⋅2)
Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.7
Nhân λ2 với 1.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+λ2-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+λ2-2⋅2)
Bước 1.1.5.4.2.1.2.2
Trừ 5λ khỏi -5λ.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-2⋅2)
Bước 1.1.5.4.2.1.3
Nhân -2 với 2.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-4)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-4)
Bước 1.1.5.4.2.2
Trừ 4 khỏi 25.
p(λ)=0+0+(4-λ)(-10λ+λ2+21)
Bước 1.1.5.4.2.3
Sắp xếp lại -10λ và λ2.
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
Bước 1.1.5.5
Rút gọn định thức.
Bước 1.1.5.5.1
Kết hợp các số hạng đối nhau trong 0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21).
Bước 1.1.5.5.1.1
Cộng 0 và 0.
p(λ)=0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
Bước 1.1.5.5.1.2
Cộng 0 và (4-λ)(λ2-10λ+21).
p(λ)=(4-λ)(λ2-10λ+21)
p(λ)=(4-λ)(λ2-10λ+21)
Bước 1.1.5.5.2
Khai triển (4-λ)(λ2-10λ+21) bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.
p(λ)=4λ2+4(-10λ)+4⋅21-λ⋅λ2-λ(-10λ)-λ⋅21
Bước 1.1.5.5.3
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 1.1.5.5.3.1
Nhân -10 với 4.
p(λ)=4λ2-40λ+4⋅21-λ⋅λ2-λ(-10λ)-λ⋅21
Bước 1.1.5.5.3.2
Nhân 4 với 21.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ⋅λ2-λ(-10λ)-λ⋅21
Bước 1.1.5.5.3.3
Nhân λ với λ2 bằng cách cộng các số mũ.
Bước 1.1.5.5.3.3.1
Di chuyển λ2.
p(λ)=4λ2-40λ+84-(λ2λ)-λ(-10λ)-λ⋅21
Bước 1.1.5.5.3.3.2
Nhân λ2 với λ.
Bước 1.1.5.5.3.3.2.1
Nâng λ lên lũy thừa 1.
p(λ)=4λ2-40λ+84-(λ2λ1)-λ(-10λ)-λ⋅21
Bước 1.1.5.5.3.3.2.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa aman=am+n để kết hợp các số mũ.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ2+1-λ(-10λ)-λ⋅21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ2+1-λ(-10λ)-λ⋅21
Bước 1.1.5.5.3.3.3
Cộng 2 và 1.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-λ(-10λ)-λ⋅21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-λ(-10λ)-λ⋅21
Bước 1.1.5.5.3.4
Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10λ⋅λ-λ⋅21
Bước 1.1.5.5.3.5
Nhân λ với λ bằng cách cộng các số mũ.
Bước 1.1.5.5.3.5.1
Di chuyển λ.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10(λ⋅λ)-λ⋅21
Bước 1.1.5.5.3.5.2
Nhân λ với λ.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10λ2-λ⋅21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10λ2-λ⋅21
Bước 1.1.5.5.3.6
Nhân -1 với -10.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-λ⋅21
Bước 1.1.5.5.3.7
Nhân 21 với -1.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-21λ
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-21λ
Bước 1.1.5.5.4
Cộng 4λ2 và 10λ2.
p(λ)=14λ2-40λ+84-λ3-21λ
Bước 1.1.5.5.5
Trừ 21λ khỏi -40λ.
p(λ)=14λ2-61λ+84-λ3
Bước 1.1.5.5.6
Di chuyển 84.
p(λ)=14λ2-61λ-λ3+84
Bước 1.1.5.5.7
Di chuyển -61λ.
p(λ)=14λ2-λ3-61λ+84
Bước 1.1.5.5.8
Sắp xếp lại 14λ2 và -λ3.
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84
Bước 1.1.6
Đặt đa thức đặc trưng bằng 0 để tìm các trị riêng λ.
-λ3+14λ2-61λ+84=0
Bước 1.1.7
Giải tìm λ.
Bước 1.1.7.1
Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.
Bước 1.1.7.1.1
Phân tích -λ3+14λ2-61λ+84 thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.
Bước 1.1.7.1.1.1
Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng pq trong đó p là một thừa số của hằng số và q là một thừa số của hệ số cao nhất.
p=±1,±84,±2,±42,±3,±28,±4,±21,±6,±14,±7,±12
q=±1
Bước 1.1.7.1.1.2
Tìm tất cả các tổ hợp của ±pq. Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.
±1,±84,±2,±42,±3,±28,±4,±21,±6,±14,±7,±12
Bước 1.1.7.1.1.3
Thay 3 và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng 0 vì vậy 3 là một nghiệm của đa thức.
Bước 1.1.7.1.1.3.1
Thay 3 vào đa thức.
-33+14⋅32-61⋅3+84
Bước 1.1.7.1.1.3.2
Nâng 3 lên lũy thừa 3.
-1⋅27+14⋅32-61⋅3+84
Bước 1.1.7.1.1.3.3
Nhân -1 với 27.
-27+14⋅32-61⋅3+84
Bước 1.1.7.1.1.3.4
Nâng 3 lên lũy thừa 2.
-27+14⋅9-61⋅3+84
Bước 1.1.7.1.1.3.5
Nhân 14 với 9.
-27+126-61⋅3+84
Bước 1.1.7.1.1.3.6
Cộng -27 và 126.
99-61⋅3+84
Bước 1.1.7.1.1.3.7
Nhân -61 với 3.
99-183+84
Bước 1.1.7.1.1.3.8
Trừ 183 khỏi 99.
-84+84
Bước 1.1.7.1.1.3.9
Cộng -84 và 84.
0
0
Bước 1.1.7.1.1.4
Vì 3 là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho λ-3 để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.
-λ3+14λ2-61λ+84λ-3
Bước 1.1.7.1.1.5
Chia -λ3+14λ2-61λ+84 cho λ-3.
Bước 1.1.7.1.1.5.1
Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị 0.
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 |
Bước 1.1.7.1.1.5.2
Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia -λ3 cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia λ.
| - | λ2 | ||||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 |
Bước 1.1.7.1.1.5.3
Nhân số hạng thương số mới với số chia.
| - | λ2 | ||||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| - | λ3 | + | 3λ2 |
Bước 1.1.7.1.1.5.4
Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong -λ3+3λ2
| - | λ2 | ||||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 |
Bước 1.1.7.1.1.5.5
Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.
| - | λ2 | ||||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 |
Bước 1.1.7.1.1.5.6
Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.
| - | λ2 | ||||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ |
Bước 1.1.7.1.1.5.7
Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia 11λ2 cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia λ.
| - | λ2 | + | 11λ | ||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ |
Bước 1.1.7.1.1.5.8
Nhân số hạng thương số mới với số chia.
| - | λ2 | + | 11λ | ||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 33λ |
Bước 1.1.7.1.1.5.9
Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong 11λ2-33λ
| - | λ2 | + | 11λ | ||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ |
Bước 1.1.7.1.1.5.10
Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.
| - | λ2 | + | 11λ | ||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ |
Bước 1.1.7.1.1.5.11
Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.
| - | λ2 | + | 11λ | ||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 |
Bước 1.1.7.1.1.5.12
Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia -28λ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia λ.
| - | λ2 | + | 11λ | - | 28 | ||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 |
Bước 1.1.7.1.1.5.13
Nhân số hạng thương số mới với số chia.
| - | λ2 | + | 11λ | - | 28 | ||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 |
Bước 1.1.7.1.1.5.14
Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong -28λ+84
| - | λ2 | + | 11λ | - | 28 | ||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 | ||||||||
| + | 28λ | - | 84 |
Bước 1.1.7.1.1.5.15
Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.
| - | λ2 | + | 11λ | - | 28 | ||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 | ||||||||
| + | 28λ | - | 84 | ||||||||
| 0 |
Bước 1.1.7.1.1.5.16
Since the remainder is 0, the final answer is the quotient.
-λ2+11λ-28
-λ2+11λ-28
Bước 1.1.7.1.1.6
Viết -λ3+14λ2-61λ+84 ở dạng một tập hợp các thừa số.
(λ-3)(-λ2+11λ-28)=0
(λ-3)(-λ2+11λ-28)=0
Bước 1.1.7.1.2
Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.
Bước 1.1.7.1.2.1
Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.
Bước 1.1.7.1.2.1.1
Đối với đa thức có dạng ax2+bx+c, hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là a⋅c=-1⋅-28=28 và có tổng là b=11.
Bước 1.1.7.1.2.1.1.1
Đưa 11 ra ngoài 11λ.
(λ-3)(-λ2+11(λ)-28)=0
Bước 1.1.7.1.2.1.1.2
Viết lại 11 ở dạng 4 cộng 7
(λ-3)(-λ2+(4+7)λ-28)=0
Bước 1.1.7.1.2.1.1.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
(λ-3)(-λ2+4λ+7λ-28)=0
(λ-3)(-λ2+4λ+7λ-28)=0
Bước 1.1.7.1.2.1.2
Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.
Bước 1.1.7.1.2.1.2.1
Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.
(λ-3)((-λ2+4λ)+7λ-28)=0
Bước 1.1.7.1.2.1.2.2
Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.
(λ-3)(λ(-λ+4)-7(-λ+4))=0
(λ-3)(λ(-λ+4)-7(-λ+4))=0
Bước 1.1.7.1.2.1.3
Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, -λ+4.
(λ-3)((-λ+4)(λ-7))=0
(λ-3)((-λ+4)(λ-7))=0
Bước 1.1.7.1.2.2
Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
Bước 1.1.7.2
Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng 0, toàn bộ biểu thức sẽ bằng 0.
λ-3=0
-λ+4=0
λ-7=0
Bước 1.1.7.3
Đặt λ-3 bằng 0 và giải tìm λ.
Bước 1.1.7.3.1
Đặt λ-3 bằng với 0.
λ-3=0
Bước 1.1.7.3.2
Cộng 3 cho cả hai vế của phương trình.
λ=3
λ=3
Bước 1.1.7.4
Đặt -λ+4 bằng 0 và giải tìm λ.
Bước 1.1.7.4.1
Đặt -λ+4 bằng với 0.
-λ+4=0
Bước 1.1.7.4.2
Giải -λ+4=0 để tìm λ.
Bước 1.1.7.4.2.1
Trừ 4 khỏi cả hai vế của phương trình.
-λ=-4
Bước 1.1.7.4.2.2
Chia mỗi số hạng trong -λ=-4 cho -1 và rút gọn.
Bước 1.1.7.4.2.2.1
Chia mỗi số hạng trong -λ=-4 cho -1.
-λ-1=-4-1
Bước 1.1.7.4.2.2.2
Rút gọn vế trái.
Bước 1.1.7.4.2.2.2.1
Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.
λ1=-4-1
Bước 1.1.7.4.2.2.2.2
Chia λ cho 1.
λ=-4-1
λ=-4-1
Bước 1.1.7.4.2.2.3
Rút gọn vế phải.
Bước 1.1.7.4.2.2.3.1
Chia -4 cho -1.
λ=4
λ=4
λ=4
λ=4
λ=4
Bước 1.1.7.5
Đặt λ-7 bằng 0 và giải tìm λ.
Bước 1.1.7.5.1
Đặt λ-7 bằng với 0.
λ-7=0
Bước 1.1.7.5.2
Cộng 7 cho cả hai vế của phương trình.
λ=7
λ=7
Bước 1.1.7.6
Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho (λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0 đúng.
λ=3,4,7
λ=3,4,7
λ=3,4,7
Bước 1.2
Vectơ riêng bằng không gian không hạch của ma trận trừ đi giá trị riêng nhân với ma trận đơn vị, trong đó N là không gian không hạch và I là ma trận đơn vị.
εA=N(A-λI3)
Bước 1.3
Tìm vectơ riêng bằng cách sử dụng trị riêng λ=3.
Bước 1.3.1
Thay các giá trị đã biết vào công thức.
N([5202504-14]-3[100010001])
Bước 1.3.2
Rút gọn.
Bước 1.3.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 1.3.2.1.1
Nhân -3 với mỗi phần tử của ma trận.
[5202504-14]+[-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Bước 1.3.2.1.2
Rút gọn từng phần tử trong ma trận.
Bước 1.3.2.1.2.1
Nhân -3 với 1.
[5202504-14]+[-3-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Bước 1.3.2.1.2.2
Nhân -3 với 0.
[5202504-14]+[-30-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Bước 1.3.2.1.2.3
Nhân -3 với 0.
[5202504-14]+[-300-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Bước 1.3.2.1.2.4
Nhân -3 với 0.
[5202504-14]+[-3000-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Bước 1.3.2.1.2.5
Nhân -3 với 1.
[5202504-14]+[-3000-3-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Bước 1.3.2.1.2.6
Nhân -3 với 0.
[5202504-14]+[-3000-30-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Bước 1.3.2.1.2.7
Nhân -3 với 0.
[5202504-14]+[-3000-300-3⋅0-3⋅1]
Bước 1.3.2.1.2.8
Nhân -3 với 0.
[5202504-14]+[-3000-3000-3⋅1]
Bước 1.3.2.1.2.9
Nhân -3 với 1.
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
Bước 1.3.2.2
Cộng các phần tử tương ứng với nhau.
[5-32+00+02+05-30+04+0-1+04-3]
Bước 1.3.2.3
Rút gọn từng phần tử.
Bước 1.3.2.3.1
Trừ 3 khỏi 5.
[22+00+02+05-30+04+0-1+04-3]
Bước 1.3.2.3.2
Cộng 2 và 0.
[220+02+05-30+04+0-1+04-3]
Bước 1.3.2.3.3
Cộng 0 và 0.
[2202+05-30+04+0-1+04-3]
Bước 1.3.2.3.4
Cộng 2 và 0.
[22025-30+04+0-1+04-3]
Bước 1.3.2.3.5
Trừ 3 khỏi 5.
[220220+04+0-1+04-3]
Bước 1.3.2.3.6
Cộng 0 và 0.
[2202204+0-1+04-3]
Bước 1.3.2.3.7
Cộng 4 và 0.
[2202204-1+04-3]
Bước 1.3.2.3.8
Cộng -1 và 0.
[2202204-14-3]
Bước 1.3.2.3.9
Trừ 3 khỏi 4.
[2202204-11]
[2202204-11]
[2202204-11]
Bước 1.3.3
Tìm không gian không hạch khi λ=3.
Bước 1.3.3.1
Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho Ax=0.
[220022004-110]
Bước 1.3.3.2
Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.
Bước 1.3.3.2.1
Nhân mỗi phần tử của R1 với 12 để số tại 1,1 trở thành 1.
Bước 1.3.3.2.1.1
Nhân mỗi phần tử của R1 với 12 để số tại 1,1 trở thành 1.
[2222020222004-110]
Bước 1.3.3.2.1.2
Rút gọn R1.
[110022004-110]
[110022004-110]
Bước 1.3.3.2.2
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-2R1 để số tại 2,1 trở thành 0.
Bước 1.3.3.2.2.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-2R1 để số tại 2,1 trở thành 0.
[11002-2⋅12-2⋅10-2⋅00-2⋅04-110]
Bước 1.3.3.2.2.2
Rút gọn R2.
[110000004-110]
[110000004-110]
Bước 1.3.3.2.3
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-4R1 để số tại 3,1 trở thành 0.
Bước 1.3.3.2.3.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-4R1 để số tại 3,1 trở thành 0.
[110000004-4⋅1-1-4⋅11-4⋅00-4⋅0]
Bước 1.3.3.2.3.2
Rút gọn R3.
[110000000-510]
[110000000-510]
Bước 1.3.3.2.4
Hoán đổi R3 với R2 để đặt một số khác không tại 2,2.
[11000-5100000]
Bước 1.3.3.2.5
Nhân mỗi phần tử của R2 với -15 để số tại 2,2 trở thành 1.
Bước 1.3.3.2.5.1
Nhân mỗi phần tử của R2 với -15 để số tại 2,2 trở thành 1.
[1100-15⋅0-15⋅-5-15⋅1-15⋅00000]
Bước 1.3.3.2.5.2
Rút gọn R2.
[110001-1500000]
[110001-1500000]
Bước 1.3.3.2.6
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1-R2 để số tại 1,2 trở thành 0.
Bước 1.3.3.2.6.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1-R2 để số tại 1,2 trở thành 0.
[1-01-10+150-001-1500000]
Bước 1.3.3.2.6.2
Rút gọn R1.
[1015001-1500000]
[1015001-1500000]
[1015001-1500000]
Bước 1.3.3.3
Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.
x+15z=0
y-15z=0
0=0
Bước 1.3.3.4
Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.
[xyz]=[-z5z5z]
Bước 1.3.3.5
Viết nghiệm dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.
[xyz]=z[-15151]
Bước 1.3.3.6
Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.
{z[-15151]|z∈R}
Bước 1.3.3.7
Đáp án là tập hợp các vectơ được tạo ra từ các biến tự do của hệ phương trình.
{[-15151]}
{[-15151]}
{[-15151]}
Bước 1.4
Tìm vectơ riêng bằng cách sử dụng trị riêng λ=4.
Bước 1.4.1
Thay các giá trị đã biết vào công thức.
N([5202504-14]-4[100010001])
Bước 1.4.2
Rút gọn.
Bước 1.4.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 1.4.2.1.1
Nhân -4 với mỗi phần tử của ma trận.
[5202504-14]+[-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Bước 1.4.2.1.2
Rút gọn từng phần tử trong ma trận.
Bước 1.4.2.1.2.1
Nhân -4 với 1.
[5202504-14]+[-4-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Bước 1.4.2.1.2.2
Nhân -4 với 0.
[5202504-14]+[-40-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Bước 1.4.2.1.2.3
Nhân -4 với 0.
[5202504-14]+[-400-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Bước 1.4.2.1.2.4
Nhân -4 với 0.
[5202504-14]+[-4000-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Bước 1.4.2.1.2.5
Nhân -4 với 1.
[5202504-14]+[-4000-4-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Bước 1.4.2.1.2.6
Nhân -4 với 0.
[5202504-14]+[-4000-40-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Bước 1.4.2.1.2.7
Nhân -4 với 0.
[5202504-14]+[-4000-400-4⋅0-4⋅1]
Bước 1.4.2.1.2.8
Nhân -4 với 0.
[5202504-14]+[-4000-4000-4⋅1]
Bước 1.4.2.1.2.9
Nhân -4 với 1.
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
Bước 1.4.2.2
Cộng các phần tử tương ứng với nhau.
[5-42+00+02+05-40+04+0-1+04-4]
Bước 1.4.2.3
Rút gọn từng phần tử.
Bước 1.4.2.3.1
Trừ 4 khỏi 5.
[12+00+02+05-40+04+0-1+04-4]
Bước 1.4.2.3.2
Cộng 2 và 0.
[120+02+05-40+04+0-1+04-4]
Bước 1.4.2.3.3
Cộng 0 và 0.
[1202+05-40+04+0-1+04-4]
Bước 1.4.2.3.4
Cộng 2 và 0.
[12025-40+04+0-1+04-4]
Bước 1.4.2.3.5
Trừ 4 khỏi 5.
[120210+04+0-1+04-4]
Bước 1.4.2.3.6
Cộng 0 và 0.
[1202104+0-1+04-4]
Bước 1.4.2.3.7
Cộng 4 và 0.
[1202104-1+04-4]
Bước 1.4.2.3.8
Cộng -1 và 0.
[1202104-14-4]
Bước 1.4.2.3.9
Trừ 4 khỏi 4.
[1202104-10]
[1202104-10]
[1202104-10]
Bước 1.4.3
Tìm không gian không hạch khi λ=4.
Bước 1.4.3.1
Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho Ax=0.
[120021004-100]
Bước 1.4.3.2
Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.
Bước 1.4.3.2.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-2R1 để số tại 2,1 trở thành 0.
Bước 1.4.3.2.1.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-2R1 để số tại 2,1 trở thành 0.
[12002-2⋅11-2⋅20-2⋅00-2⋅04-100]
Bước 1.4.3.2.1.2
Rút gọn R2.
[12000-3004-100]
[12000-3004-100]
Bước 1.4.3.2.2
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-4R1 để số tại 3,1 trở thành 0.
Bước 1.4.3.2.2.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-4R1 để số tại 3,1 trở thành 0.
[12000-3004-4⋅1-1-4⋅20-4⋅00-4⋅0]
Bước 1.4.3.2.2.2
Rút gọn R3.
[12000-3000-900]
[12000-3000-900]
Bước 1.4.3.2.3
Nhân mỗi phần tử của R2 với -13 để số tại 2,2 trở thành 1.
Bước 1.4.3.2.3.1
Nhân mỗi phần tử của R2 với -13 để số tại 2,2 trở thành 1.
[1200-13⋅0-13⋅-3-13⋅0-13⋅00-900]
Bước 1.4.3.2.3.2
Rút gọn R2.
[120001000-900]
[120001000-900]
Bước 1.4.3.2.4
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3+9R2 để số tại 3,2 trở thành 0.
Bước 1.4.3.2.4.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3+9R2 để số tại 3,2 trở thành 0.
[120001000+9⋅0-9+9⋅10+9⋅00+9⋅0]
Bước 1.4.3.2.4.2
Rút gọn R3.
[120001000000]
[120001000000]
Bước 1.4.3.2.5
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1-2R2 để số tại 1,2 trở thành 0.
Bước 1.4.3.2.5.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1-2R2 để số tại 1,2 trở thành 0.
[1-2⋅02-2⋅10-2⋅00-2⋅001000000]
Bước 1.4.3.2.5.2
Rút gọn R1.
[100001000000]
[100001000000]
[100001000000]
Bước 1.4.3.3
Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.
x=0
y=0
0=0
Bước 1.4.3.4
Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.
[xyz]=[00z]
Bước 1.4.3.5
Viết nghiệm dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.
[xyz]=z[001]
Bước 1.4.3.6
Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.
{z[001]|z∈R}
Bước 1.4.3.7
Đáp án là tập hợp các vectơ được tạo ra từ các biến tự do của hệ phương trình.
{[001]}
{[001]}
{[001]}
Bước 1.5
Tìm vectơ riêng bằng cách sử dụng trị riêng λ=7.
Bước 1.5.1
Thay các giá trị đã biết vào công thức.
N([5202504-14]-7[100010001])
Bước 1.5.2
Rút gọn.
Bước 1.5.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 1.5.2.1.1
Nhân -7 với mỗi phần tử của ma trận.
[5202504-14]+[-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Bước 1.5.2.1.2
Rút gọn từng phần tử trong ma trận.
Bước 1.5.2.1.2.1
Nhân -7 với 1.
[5202504-14]+[-7-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Bước 1.5.2.1.2.2
Nhân -7 với 0.
[5202504-14]+[-70-7⋅0-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Bước 1.5.2.1.2.3
Nhân -7 với 0.
[5202504-14]+[-700-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Bước 1.5.2.1.2.4
Nhân -7 với 0.
[5202504-14]+[-7000-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Bước 1.5.2.1.2.5
Nhân -7 với 1.
[5202504-14]+[-7000-7-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Bước 1.5.2.1.2.6
Nhân -7 với 0.
[5202504-14]+[-7000-70-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Bước 1.5.2.1.2.7
Nhân -7 với 0.
[5202504-14]+[-7000-700-7⋅0-7⋅1]
Bước 1.5.2.1.2.8
Nhân -7 với 0.
[5202504-14]+[-7000-7000-7⋅1]
Bước 1.5.2.1.2.9
Nhân -7 với 1.
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
Bước 1.5.2.2
Cộng các phần tử tương ứng với nhau.
[5-72+00+02+05-70+04+0-1+04-7]
Bước 1.5.2.3
Rút gọn từng phần tử.
Bước 1.5.2.3.1
Trừ 7 khỏi 5.
[-22+00+02+05-70+04+0-1+04-7]
Bước 1.5.2.3.2
Cộng 2 và 0.
[-220+02+05-70+04+0-1+04-7]
Bước 1.5.2.3.3
Cộng 0 và 0.
[-2202+05-70+04+0-1+04-7]
Bước 1.5.2.3.4
Cộng 2 và 0.
[-22025-70+04+0-1+04-7]
Bước 1.5.2.3.5
Trừ 7 khỏi 5.
[-2202-20+04+0-1+04-7]
Bước 1.5.2.3.6
Cộng 0 và 0.
[-2202-204+0-1+04-7]
Bước 1.5.2.3.7
Cộng 4 và 0.
[-2202-204-1+04-7]
Bước 1.5.2.3.8
Cộng -1 và 0.
[-2202-204-14-7]
Bước 1.5.2.3.9
Trừ 7 khỏi 4.
[-2202-204-1-3]
[-2202-204-1-3]
[-2202-204-1-3]
Bước 1.5.3
Tìm không gian không hạch khi λ=7.
Bước 1.5.3.1
Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho Ax=0.
[-22002-2004-1-30]
Bước 1.5.3.2
Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.
Bước 1.5.3.2.1
Nhân mỗi phần tử của R1 với -12 để số tại 1,1 trở thành 1.
Bước 1.5.3.2.1.1
Nhân mỗi phần tử của R1 với -12 để số tại 1,1 trở thành 1.
[-12⋅-2-12⋅2-12⋅0-12⋅02-2004-1-30]
Bước 1.5.3.2.1.2
Rút gọn R1.
[1-1002-2004-1-30]
[1-1002-2004-1-30]
Bước 1.5.3.2.2
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-2R1 để số tại 2,1 trở thành 0.
Bước 1.5.3.2.2.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-2R1 để số tại 2,1 trở thành 0.
[1-1002-2⋅1-2-2⋅-10-2⋅00-2⋅04-1-30]
Bước 1.5.3.2.2.2
Rút gọn R2.
[1-10000004-1-30]
[1-10000004-1-30]
Bước 1.5.3.2.3
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-4R1 để số tại 3,1 trở thành 0.
Bước 1.5.3.2.3.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-4R1 để số tại 3,1 trở thành 0.
[1-10000004-4⋅1-1-4⋅-1-3-4⋅00-4⋅0]
Bước 1.5.3.2.3.2
Rút gọn R3.
[1-100000003-30]
[1-100000003-30]
Bước 1.5.3.2.4
Hoán đổi R3 với R2 để đặt một số khác không tại 2,2.
[1-10003-300000]
Bước 1.5.3.2.5
Nhân mỗi phần tử của R2 với 13 để số tại 2,2 trở thành 1.
Bước 1.5.3.2.5.1
Nhân mỗi phần tử của R2 với 13 để số tại 2,2 trở thành 1.
[1-1000333-33030000]
Bước 1.5.3.2.5.2
Rút gọn R2.
[1-10001-100000]
[1-10001-100000]
Bước 1.5.3.2.6
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1+R2 để số tại 1,2 trở thành 0.
Bước 1.5.3.2.6.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1+R2 để số tại 1,2 trở thành 0.
[1+0-1+1⋅10-10+001-100000]
Bước 1.5.3.2.6.2
Rút gọn R1.
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
Bước 1.5.3.3
Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.
x-z=0
y-z=0
0=0
Bước 1.5.3.4
Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.
[xyz]=[zzz]
Bước 1.5.3.5
Viết nghiệm dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.
[xyz]=z[111]
Bước 1.5.3.6
Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.
{z[111]|z∈R}
Bước 1.5.3.7
Đáp án là tập hợp các vectơ được tạo ra từ các biến tự do của hệ phương trình.
{[111]}
{[111]}
{[111]}
Bước 1.6
Không gian riêng của A là danh sách không gian vectơ cho mỗi trị riêng.
{[-15151],[001],[111]}
{[-15151],[001],[111]}
Bước 2
Xác định P làm ma trận của các vectơ riêng.
P=[-15011501111]
Bước 3
Bước 3.1
Tìm định thức.
Bước 3.1.1
Chọn hàng hoặc cột có nhiều phần tử 0 nhất. Nếu không có phần tử 0 nào, hãy chọn hàng hoặc cột bất kỳ. Nhân mỗi phần tử trong cột 2 với đồng hệ số tương ứng rồi cộng lại.
Bước 3.1.1.1
Xem xét biểu đồ dấu tương ứng.
|+-+-+-+-+|
Bước 3.1.1.2
Đồng hệ số là định thức con có dấu thay đổi nếu các chỉ số khớp với vị trí - trên biểu đồ dấu.
Bước 3.1.1.3
Định thức con của a12 là định thức có hàng 1 và cột 2 bị xóa.
|15111|
Bước 3.1.1.4
Nhân phần tử a12 với đồng hệ số tương ứng.
0|15111|
Bước 3.1.1.5
Định thức con của a22 là định thức có hàng 2 và cột 2 bị xóa.
|-15111|
Bước 3.1.1.6
Nhân phần tử a22 với đồng hệ số tương ứng.
0|-15111|
Bước 3.1.1.7
Định thức con của a32 là định thức có hàng 3 và cột 2 bị xóa.
|-151151|
Bước 3.1.1.8
Nhân phần tử a32 với đồng hệ số tương ứng.
-1|-151151|
Bước 3.1.1.9
Cộng các số hạng với nhau.
0|15111|+0|-15111|-1|-151151|
0|15111|+0|-15111|-1|-151151|
Bước 3.1.2
Nhân 0 với |15111|.
0+0|-15111|-1|-151151|
Bước 3.1.3
Nhân 0 với |-15111|.
0+0-1|-151151|
Bước 3.1.4
Tính |-151151|.
Bước 3.1.4.1
Có thể tìm được định thức của một 2×2 ma trận bằng công thức |abcd|=ad-cb.
0+0-1(-15⋅1-15⋅1)
Bước 3.1.4.2
Rút gọn định thức.
Bước 3.1.4.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 3.1.4.2.1.1
Nhân -1 với 1.
0+0-1(-15-15⋅1)
Bước 3.1.4.2.1.2
Nhân -1 với 1.
0+0-1(-15-15)
0+0-1(-15-15)
Bước 3.1.4.2.2
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
0+0-1-1-15
Bước 3.1.4.2.3
Trừ 1 khỏi -1.
0+0-1(-25)
Bước 3.1.4.2.4
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
0+0-1(-25)
0+0-1(-25)
0+0-1(-25)
Bước 3.1.5
Rút gọn định thức.
Bước 3.1.5.1
Nhân -1(-25).
Bước 3.1.5.1.1
Nhân -1 với -1.
0+0+1(25)
Bước 3.1.5.1.2
Nhân 25 với 1.
0+0+25
0+0+25
Bước 3.1.5.2
Cộng 0 và 0.
0+25
Bước 3.1.5.3
Cộng 0 và 25.
25
25
25
Bước 3.2
Vì định thức khác không nên nghịch đảo tồn tại.
Bước 3.3
Lập ma trận 3×6 trong đó nửa trái là ma trận gốc còn nửa phải là ma trận đơn vị.
P-1=[-15011001501010111001]
Bước 3.4
Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.
Bước 3.4.1
Nhân mỗi phần tử của R1 với -5 để số tại 1,1 trở thành 1.
Bước 3.4.1.1
Nhân mỗi phần tử của R1 với -5 để số tại 1,1 trở thành 1.
P-1=[-5(-15)-5⋅0-5⋅1-5⋅1-5⋅0-5⋅01501010111001]
Bước 3.4.1.2
Rút gọn R1.
P-1=[10-5-5001501010111001]
P-1=[10-5-5001501010111001]
Bước 3.4.2
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-15R1 để số tại 2,1 trở thành 0.
Bước 3.4.2.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-15R1 để số tại 2,1 trở thành 0.
P-1=[10-5-50015-15⋅10-15⋅01-15⋅-50-15⋅-51-15⋅00-15⋅0111001]
Bước 3.4.2.2
Rút gọn R2.
P-1=[10-5-500002110111001]
P-1=[10-5-500002110111001]
Bước 3.4.3
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-R1 để số tại 3,1 trở thành 0.
Bước 3.4.3.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-R1 để số tại 3,1 trở thành 0.
P-1=[10-5-5000021101-11-01+50+50-01-0]
Bước 3.4.3.2
Rút gọn R3.
P-1=[10-5-500002110016501]
P-1=[10-5-500002110016501]
Bước 3.4.4
Hoán đổi R3 với R2 để đặt một số khác không tại 2,2.
P-1=[10-5-500016501002110]
Bước 3.4.5
Nhân mỗi phần tử của R3 với 12 để số tại 3,3 trở thành 1.
Bước 3.4.5.1
Nhân mỗi phần tử của R3 với 12 để số tại 3,3 trở thành 1.
P-1=[10-5-500016501020222121202]
Bước 3.4.5.2
Rút gọn R3.
P-1=[10-5-50001650100112120]
P-1=[10-5-50001650100112120]
Bước 3.4.6
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-6R3 để số tại 2,3 trở thành 0.
Bước 3.4.6.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-6R3 để số tại 2,3 trở thành 0.
P-1=[10-5-5000-6⋅01-6⋅06-6⋅15-6(12)0-6(12)1-6⋅000112120]
Bước 3.4.6.2
Rút gọn R2.
P-1=[10-5-5000102-3100112120]
P-1=[10-5-5000102-3100112120]
Bước 3.4.7
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1+5R3 để số tại 1,3 trở thành 0.
Bước 3.4.7.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1+5R3 để số tại 1,3 trở thành 0.
P-1=[1+5⋅00+5⋅0-5+5⋅1-5+5(12)0+5(12)0+5⋅00102-3100112120]
Bước 3.4.7.2
Rút gọn R1.
P-1=[100-525200102-3100112120]
P-1=[100-525200102-3100112120]
P-1=[100-525200102-3100112120]
Bước 3.5
Nửa bên phải của dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn là nghịch đảo.
P-1=[-525202-3112120]
P-1=[-525202-3112120]
Bước 4
Sử dụng phép biến đổi đồng dạng để tìm ma trận chéo D.
D=P-1AP
Bước 5
Thay các ma trận.
[-525202-3112120][5202504-14][-15011501111]
Bước 6
Bước 6.1
Nhân [-525202-3112120][5202504-14].
Bước 6.1.1
Chỉ có thể nhân hai ma trận với nhau khi số cột trong ma trận thứ nhất bằng số hàng trong ma trận thứ hai. Trong trường hợp này, ma trận đầu tiên là 3×3 và ma trận thứ hai là 3×3.
Bước 6.1.2
Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.
[-52⋅5+52⋅2+0⋅4-52⋅2+52⋅5+0⋅-1-52⋅0+52⋅0+0⋅42⋅5-3⋅2+1⋅42⋅2-3⋅5+1⋅-12⋅0-3⋅0+1⋅412⋅5+12⋅2+0⋅412⋅2+12⋅5+0⋅-112⋅0+12⋅0+0⋅4][-15011501111]
Bước 6.1.3
Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.
[-15215208-12472720][-15011501111]
[-15215208-12472720][-15011501111]
Bước 6.2
Nhân [-15215208-12472720][-15011501111].
Bước 6.2.1
Chỉ có thể nhân hai ma trận với nhau khi số cột trong ma trận thứ nhất bằng số hàng trong ma trận thứ hai. Trong trường hợp này, ma trận đầu tiên là 3×3 và ma trận thứ hai là 3×3.
Bước 6.2.2
Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.
[-152(-15)+152⋅15+0⋅1-152⋅0+152⋅0+0⋅1-152⋅1+152⋅1+0⋅18(-15)-12(15)+4⋅18⋅0-12⋅0+4⋅18⋅1-12⋅1+4⋅172(-15)+72⋅15+0⋅172⋅0+72⋅0+0⋅172⋅1+72⋅1+0⋅1]
Bước 6.2.3
Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.
[300040007]
[300040007]
[300040007]
