Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$

Bước 1

Tìm các vectơ riêng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm các trị riêng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Lập công thức để tìm phương trình đặc trưng $p (λ)$ .

$p (λ) = định thức (A - λ I_{3})$

Bước 1.1.2

Ma trận đơn vị cỡ $3$ là ma trận vuông $3 \times 3$ có đường chéo chính gồm các hệ số một và phần còn lại là các hệ số không.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 1.1.3

Thay các giá trị đã biết vào $p (λ) = định thức (A - λ I_{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Thay $[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ bằng $A$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Bước 1.1.3.2

Thay $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ bằng $I_{3}$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.1

Nhân $- λ$ với mỗi phần tử của ma trận.

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.2

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.2.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.2.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.3

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.2.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.3.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.4

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.2.4.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.4.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.6

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.2.6.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.6.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.7

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.2.7.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.7.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.8

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.2.8.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.8.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Bước 1.1.4.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Bước 1.1.4.3

Rút gọn từng phần tử.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1

Cộng $2$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Bước 1.1.4.3.2

Cộng $0$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Bước 1.1.4.3.3

Cộng $2$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Bước 1.1.4.3.4

Cộng $0$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Bước 1.1.4.3.5

Cộng $4$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Bước 1.1.4.3.6

Cộng $- 1$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - λ \end{array}]$

Bước 1.1.5

Tìm định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Chọn hàng hoặc cột có nhiều phần tử $0$ nhất. Nếu không có phần tử $0$ nào, hãy chọn hàng hoặc cột bất kỳ. Nhân mỗi phần tử trong cột $3$ với đồng hệ số tương ứng rồi cộng lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1.1

Xem xét biểu đồ dấu tương ứng.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 1.1.5.1.2

Đồng hệ số là định thức con có dấu thay đổi nếu các chỉ số khớp với vị trí $-$ trên biểu đồ dấu.

Bước 1.1.5.1.3

Định thức con của $a_{13}$ là định thức có hàng $1$ và cột $3$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Bước 1.1.5.1.4

Nhân phần tử $a_{13}$ với đồng hệ số tương ứng.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Bước 1.1.5.1.5

Định thức con của $a_{23}$ là định thức có hàng $2$ và cột $3$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Bước 1.1.5.1.6

Nhân phần tử $a_{23}$ với đồng hệ số tương ứng.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Bước 1.1.5.1.7

Định thức con của $a_{33}$ là định thức có hàng $3$ và cột $3$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Bước 1.1.5.1.8

Nhân phần tử $a_{33}$ với đồng hệ số tương ứng.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Bước 1.1.5.1.9

Cộng các số hạng với nhau.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Bước 1.1.5.2

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Bước 1.1.5.3

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Bước 1.1.5.4

Tính $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Bước 1.1.5.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.4.2.1.1

Khai triển $(5 - λ) (5 - λ)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.4.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Bước 1.1.5.4.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Bước 1.1.5.4.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Bước 1.1.5.4.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.4.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.1

Nhân $5$ với $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.3

Nhân $5$ với $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2)$

Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.5

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2)$

Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Bước 1.1.5.4.2.1.2.1.7

Nhân $λ^{2}$ với $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Bước 1.1.5.4.2.1.2.2

Trừ $5 λ$ khỏi $- 5 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Bước 1.1.5.4.2.1.3

Nhân $- 2$ với $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 4)$

Bước 1.1.5.4.2.2

Trừ $4$ khỏi $25$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (- 10 λ + λ^{2} + 21)$

Bước 1.1.5.4.2.3

Sắp xếp lại $- 10 λ$ và $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Bước 1.1.5.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.5.1.1

Cộng $0$ và $0$ .

$p (λ) = 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Bước 1.1.5.5.1.2

Cộng $0$ và $(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Bước 1.1.5.5.2

Khai triển $(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 10 λ) + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Bước 1.1.5.5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.5.3.1

Nhân $- 10$ với $4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Bước 1.1.5.5.3.2

Nhân $4$ với $21$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Bước 1.1.5.5.3.3

Nhân $λ$ với $λ^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.5.3.3.1

Di chuyển $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Bước 1.1.5.5.3.3.2

Nhân $λ^{2}$ với $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.5.3.3.2.1

Nâng $λ$ lên lũy thừa $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Bước 1.1.5.5.3.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Bước 1.1.5.5.3.3.3

Cộng $2$ và $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Bước 1.1.5.5.3.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot 21$

Bước 1.1.5.5.3.5

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.5.3.5.1

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 21$

Bước 1.1.5.5.3.5.2

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

Bước 1.1.5.5.3.6

Nhân $- 1$ với $- 10$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

Bước 1.1.5.5.3.7

Nhân $21$ với $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ$

Bước 1.1.5.5.4

Cộng $4 λ^{2}$ và $10 λ^{2}$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 21 λ$

Bước 1.1.5.5.5

Trừ $21 λ$ khỏi $- 40 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ + 84 - λ^{3}$

Bước 1.1.5.5.6

Di chuyển $84$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ - λ^{3} + 84$

Bước 1.1.5.5.7

Di chuyển $- 61 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - λ^{3} - 61 λ + 84$

Bước 1.1.5.5.8

Sắp xếp lại $14 λ^{2}$ và $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$

Bước 1.1.6

Đặt đa thức đặc trưng bằng $0$ để tìm các trị riêng $λ$ .

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84 = 0$

Bước 1.1.7

Giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1.1

Phân tích $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1.1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

$q = \pm 1$

Bước 1.1.7.1.1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

Bước 1.1.7.1.1.3

Thay $3$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $3$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1.1.3.1

Thay $3$ vào đa thức.

$- 3^{3} + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Bước 1.1.7.1.1.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Bước 1.1.7.1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $27$ .

$- 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Bước 1.1.7.1.1.3.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$- 27 + 14 \cdot 9 - 61 \cdot 3 + 84$

Bước 1.1.7.1.1.3.5

Nhân $14$ với $9$ .

$- 27 + 126 - 61 \cdot 3 + 84$

Bước 1.1.7.1.1.3.6

Cộng $- 27$ và $126$ .

$99 - 61 \cdot 3 + 84$

Bước 1.1.7.1.1.3.7

Nhân $- 61$ với $3$ .

$99 - 183 + 84$

Bước 1.1.7.1.1.3.8

Trừ $183$ khỏi $99$ .

$- 84 + 84$

Bước 1.1.7.1.1.3.9

Cộng $- 84$ và $84$ .

$0$

Bước 1.1.7.1.1.4

Vì $3$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $λ - 3$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84}{λ - 3}$

Bước 1.1.7.1.1.5

Chia $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ cho $λ - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1.1.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$61 λ$

$84$

Bước 1.1.7.1.1.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- λ^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$

Bước 1.1.7.1.1.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Bước 1.1.7.1.1.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- λ^{3} + 3 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Bước 1.1.7.1.1.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

Bước 1.1.7.1.1.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

Bước 1.1.7.1.1.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $11 λ^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

Bước 1.1.7.1.1.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					+	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

Bước 1.1.7.1.1.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $11 λ^{2} - 33 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

Bước 1.1.7.1.1.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$

Bước 1.1.7.1.1.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

Bước 1.1.7.1.1.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 28 λ$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

Bước 1.1.7.1.1.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							-	$28 λ$	+	$84$

Bước 1.1.7.1.1.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 28 λ + 84$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$

Bước 1.1.7.1.1.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$
										$0$

Bước 1.1.7.1.1.5.16

Since the remainder is $0$ , the final answer is the quotient.

$- λ^{2} + 11 λ - 28$

Bước 1.1.7.1.1.6

Viết $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 λ - 28) = 0$

Bước 1.1.7.1.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot - 28 = 28$ và có tổng là $b = 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1.2.1.1.1

Đưa $11$ ra ngoài $11 λ$ .

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 (λ) - 28) = 0$

Bước 1.1.7.1.2.1.1.2

Viết lại $11$ ở dạng $4$ cộng $7$

$(λ - 3) (- λ^{2} + (4 + 7) λ - 28) = 0$

Bước 1.1.7.1.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 4 λ + 7 λ - 28) = 0$

Bước 1.1.7.1.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(λ - 3) ((- λ^{2} + 4 λ) + 7 λ - 28) = 0$

Bước 1.1.7.1.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$(λ - 3) (λ (- λ + 4) - 7 (- λ + 4)) = 0$

Bước 1.1.7.1.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- λ + 4$ .

$(λ - 3) ((- λ + 4) (λ - 7)) = 0$

Bước 1.1.7.1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$

Bước 1.1.7.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$λ - 3 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 7 = 0$

Bước 1.1.7.3

Đặt $λ - 3$ bằng $0$ và giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.3.1

Đặt $λ - 3$ bằng với $0$ .

$λ - 3 = 0$

Bước 1.1.7.3.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$λ = 3$

Bước 1.1.7.4

Đặt $- λ + 4$ bằng $0$ và giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.4.1

Đặt $- λ + 4$ bằng với $0$ .

$- λ + 4 = 0$

Bước 1.1.7.4.2

Giải $- λ + 4 = 0$ để tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.4.2.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- λ = - 4$

Bước 1.1.7.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- λ = - 4$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- λ = - 4$ cho $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Bước 1.1.7.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.4.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Bước 1.1.7.4.2.2.2.2

Chia $λ$ cho $1$ .

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

Bước 1.1.7.4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.4.2.2.3.1

Chia $- 4$ cho $- 1$ .

$λ = 4$

Bước 1.1.7.5

Đặt $λ - 7$ bằng $0$ và giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.5.1

Đặt $λ - 7$ bằng với $0$ .

$λ - 7 = 0$

Bước 1.1.7.5.2

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$λ = 7$

Bước 1.1.7.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$ đúng.

$λ = 3, 4, 7$

Bước 1.2

Vectơ riêng bằng không gian không hạch của ma trận trừ đi giá trị riêng nhân với ma trận đơn vị, trong đó $N$ là không gian không hạch và $I$ là ma trận đơn vị.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Bước 1.3

Tìm vectơ riêng bằng cách sử dụng trị riêng $λ = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Bước 1.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.1

Nhân $- 3$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.3.2.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.2.1

Nhân $- 3$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.3.2.1.2.2

Nhân $- 3$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.3.2.1.2.3

Nhân $- 3$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.3.2.1.2.4

Nhân $- 3$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.3.2.1.2.5

Nhân $- 3$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.3.2.1.2.6

Nhân $- 3$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.3.2.1.2.7

Nhân $- 3$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.3.2.1.2.8

Nhân $- 3$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.3.2.1.2.9

Nhân $- 3$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Bước 1.3.2.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 5 - 3 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Bước 1.3.2.3

Rút gọn từng phần tử.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.1

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Bước 1.3.2.3.2

Cộng $2$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Bước 1.3.2.3.3

Cộng $0$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Bước 1.3.2.3.4

Cộng $2$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Bước 1.3.2.3.5

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Bước 1.3.2.3.6

Cộng $0$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Bước 1.3.2.3.7

Cộng $4$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Bước 1.3.2.3.8

Cộng $- 1$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 3 \end{array}]$

Bước 1.3.2.3.9

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}]$

Bước 1.3.3

Tìm không gian không hạch khi $λ = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{1}{2}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{1}{2}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.2.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.2.3

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.3.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.2.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.2.4

Hoán đổi $R_{3}$ với $R_{2}$ để đặt một số khác không tại $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.2.5

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $- \frac{1}{5}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.5.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $- \frac{1}{5}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 1 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.2.5.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.2.6

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.6.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 + \frac{1}{5} & 0 - 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.2.6.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y - \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

Bước 1.3.3.4

Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

Bước 1.3.3.5

Viết nghiệm dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

Bước 1.3.3.6

Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Bước 1.3.3.7

Đáp án là tập hợp các vectơ được tạo ra từ các biến tự do của hệ phương trình.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

Bước 1.4

Tìm vectơ riêng bằng cách sử dụng trị riêng $λ = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Bước 1.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1.1

Nhân $- 4$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.4.2.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.4.2.1.2.2

Nhân $- 4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.4.2.1.2.3

Nhân $- 4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.4.2.1.2.4

Nhân $- 4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.4.2.1.2.5

Nhân $- 4$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.4.2.1.2.6

Nhân $- 4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.4.2.1.2.7

Nhân $- 4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.4.2.1.2.8

Nhân $- 4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.4.2.1.2.9

Nhân $- 4$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Bước 1.4.2.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Bước 1.4.2.3

Rút gọn từng phần tử.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.3.1

Trừ $4$ khỏi $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Bước 1.4.2.3.2

Cộng $2$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Bước 1.4.2.3.3

Cộng $0$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Bước 1.4.2.3.4

Cộng $2$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Bước 1.4.2.3.5

Trừ $4$ khỏi $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Bước 1.4.2.3.6

Cộng $0$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Bước 1.4.2.3.7

Cộng $4$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Bước 1.4.2.3.8

Cộng $- 1$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 4 \end{array}]$

Bước 1.4.2.3.9

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3

Tìm không gian không hạch khi $λ = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.1.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.2.1.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.2.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 2 & 0 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.2.2.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.2.3

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $- \frac{1}{3}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.3.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $- \frac{1}{3}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.2.3.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.2.4

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.4.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 & 0 + 9 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.2.4.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.2.5

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.5.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.2.5.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Bước 1.4.3.4

Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

Bước 1.4.3.5

Viết nghiệm dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Bước 1.4.3.6

Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Bước 1.4.3.7

Đáp án là tập hợp các vectơ được tạo ra từ các biến tự do của hệ phương trình.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Bước 1.5

Tìm vectơ riêng bằng cách sử dụng trị riêng $λ = 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Bước 1.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.1

Nhân $- 7$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.5.2.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.2.1

Nhân $- 7$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.5.2.1.2.2

Nhân $- 7$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.5.2.1.2.3

Nhân $- 7$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.5.2.1.2.4

Nhân $- 7$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.5.2.1.2.5

Nhân $- 7$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.5.2.1.2.6

Nhân $- 7$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.5.2.1.2.7

Nhân $- 7$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.5.2.1.2.8

Nhân $- 7$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.5.2.1.2.9

Nhân $- 7$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

Bước 1.5.2.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 5 - 7 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Bước 1.5.2.3

Rút gọn từng phần tử.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.3.1

Trừ $7$ khỏi $5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Bước 1.5.2.3.2

Cộng $2$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Bước 1.5.2.3.3

Cộng $0$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Bước 1.5.2.3.4

Cộng $2$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Bước 1.5.2.3.5

Trừ $7$ khỏi $5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Bước 1.5.2.3.6

Cộng $0$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Bước 1.5.2.3.7

Cộng $4$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Bước 1.5.2.3.8

Cộng $- 1$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 7 \end{array}]$

Bước 1.5.2.3.9

Trừ $7$ khỏi $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Bước 1.5.3

Tìm không gian không hạch khi $λ = 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Bước 1.5.3.2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $- \frac{1}{2}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $- \frac{1}{2}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Bước 1.5.3.2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Bước 1.5.3.2.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Bước 1.5.3.2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Bước 1.5.3.2.3

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.3.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot - 1 & - 3 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 1.5.3.2.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Bước 1.5.3.2.4

Hoán đổi $R_{3}$ với $R_{2}$ để đặt một số khác không tại $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.5.3.2.5

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{1}{3}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.5.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{1}{3}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.5.3.2.5.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.5.3.2.6

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.6.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.5.3.2.6.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.5.3.3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Bước 1.5.3.4

Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

Bước 1.5.3.5

Viết nghiệm dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Bước 1.5.3.6

Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Bước 1.5.3.7

Đáp án là tập hợp các vectơ được tạo ra từ các biến tự do của hệ phương trình.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Bước 1.6

Không gian riêng của $A$ là danh sách không gian vectơ cho mỗi trị riêng.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Bước 2

Xác định $P$ làm ma trận của các vectơ riêng.

$P = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Bước 3

Tìm nghịch đảo của $P$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chọn hàng hoặc cột có nhiều phần tử $0$ nhất. Nếu không có phần tử $0$ nào, hãy chọn hàng hoặc cột bất kỳ. Nhân mỗi phần tử trong cột $2$ với đồng hệ số tương ứng rồi cộng lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Xem xét biểu đồ dấu tương ứng.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 3.1.1.2

Đồng hệ số là định thức con có dấu thay đổi nếu các chỉ số khớp với vị trí $-$ trên biểu đồ dấu.

Bước 3.1.1.3

Định thức con của $a_{12}$ là định thức có hàng $1$ và cột $2$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Bước 3.1.1.4

Nhân phần tử $a_{12}$ với đồng hệ số tương ứng.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Bước 3.1.1.5

Định thức con của $a_{22}$ là định thức có hàng $2$ và cột $2$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Bước 3.1.1.6

Nhân phần tử $a_{22}$ với đồng hệ số tương ứng.

$0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Bước 3.1.1.7

Định thức con của $a_{32}$ là định thức có hàng $3$ và cột $2$ bị xóa.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Bước 3.1.1.8

Nhân phần tử $a_{32}$ với đồng hệ số tương ứng.

$- 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Bước 3.1.1.9

Cộng các số hạng với nhau.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Bước 3.1.2

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Bước 3.1.3

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Bước 3.1.4

Tính $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Bước 3.1.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.2.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Bước 3.1.4.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5})$

Bước 3.1.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 + 0 - 1 \frac{- 1 - 1}{5}$

Bước 3.1.4.2.3

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$0 + 0 - 1 (\frac{- 2}{5})$

Bước 3.1.4.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 + 0 - 1 (- \frac{2}{5})$

Bước 3.1.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1

Nhân $- 1 (- \frac{2}{5})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$0 + 0 + 1 (\frac{2}{5})$

Bước 3.1.5.1.2

Nhân $\frac{2}{5}$ với $1$ .

$0 + 0 + \frac{2}{5}$

Bước 3.1.5.2

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + \frac{2}{5}$

Bước 3.1.5.3

Cộng $0$ và $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Bước 3.2

Vì định thức khác không nên nghịch đảo tồn tại.

Bước 3.3

Lập ma trận $3 \times 6$ trong đó nửa trái là ma trận gốc còn nửa phải là ma trận đơn vị.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 3.4

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $- 5$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $- 5$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - 5 (- \frac{1}{5}) & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 3.4.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 3.4.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 0 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 1 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 3.4.3

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 1 + 5 & 0 + 5 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

Bước 3.4.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 3.4.4

Hoán đổi $R_{3}$ với $R_{2}$ để đặt một số khác không tại $2, 2$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.4.5

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $\frac{1}{2}$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $\frac{1}{2}$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

Bước 3.4.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Bước 3.4.6

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 & 5 - 6 (\frac{1}{2}) & 0 - 6 (\frac{1}{2}) & 1 - 6 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Bước 3.4.6.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Bước 3.4.7

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Bước 3.4.7.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Bước 3.5

Nửa bên phải của dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn là nghịch đảo.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Bước 4

Sử dụng phép biến đổi đồng dạng để tìm ma trận chéo $D$ .

$D = P^{- 1} A P$

Bước 5

Thay các ma trận.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Chỉ có thể nhân hai ma trận với nhau khi số cột trong ma trận thứ nhất bằng số hàng trong ma trận thứ hai. Trong trường hợp này, ma trận đầu tiên là $3 \times 3$ và ma trận thứ hai là $3 \times 3$ .

Bước 6.1.2

Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} \cdot 5 + \frac{5}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & - \frac{5}{2} \cdot 2 + \frac{5}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & - \frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \\ 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 & 2 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 1 & 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Bước 6.1.3

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Bước 6.2

Nhân $[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Bước 6.2.2

Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 0 + \frac{15}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 1 + \frac{15}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ 8 (- \frac{1}{5}) - 12 (\frac{1}{5}) + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \\ \frac{7}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 0 + \frac{7}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 1 + \frac{7}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 6.2.3

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array}]$

Nhập bài toán CỦA BẠN