Giải tích Ví dụ

\int \sqrt{9 - x^{2}} d x

$\int \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử

x = 3 sin (t)

$x = 3 \sin (t)$ , trong đó

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó

d x = 3 cos (t) d t

$d x = 3 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên

3 cos (t)

$3 \cos (t)$ dương.

\int \sqrt{9 - {(3 sin (t))}^{2}} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn

\sqrt{9 - {(3 sin (t))}^{2}}

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho

3 sin (t)

$3 \sin (t)$ .

\int \sqrt{9 - (3^{2} {sin}^{2} (t))} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng

3

$3$ lên lũy thừa

2

$2$ .

\int \sqrt{9 - (9 {sin}^{2} (t))} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.3

Nhân

9

$9$ với

- 1

$- 1$ .

\int \sqrt{9 - 9 {sin}^{2} (t)} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

\int \sqrt{9 - 9 {sin}^{2} (t)} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa

9

$9$ ra ngoài

9

$9$ .

\int \sqrt{9 (1) - 9 {sin}^{2} (t)} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa

9

$9$ ra ngoài

- 9 {sin}^{2} (t)

$- 9 \sin^{2} (t)$ .

\int \sqrt{9 (1) + 9 (- {sin}^{2} (t))} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa

9

$9$ ra ngoài

9 (1) + 9 (- {sin}^{2} (t))

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

\int \sqrt{9 (1 - {sin}^{2} (t))} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

\int \sqrt{9 {cos}^{2} (t)} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.6

Viết lại

9 {cos}^{2} (t)

$9 \cos^{2} (t)$ ở dạng

{(3 cos (t))}^{2}

${(3 \cos (t))}^{2}$ .

\int \sqrt{{(3 cos (t))}^{2}} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

\int 3 cos (t) (3 cos (t)) d t

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

\int 3 cos (t) (3 cos (t)) d t

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân

3

$3$ với

3

$3$ .

\int 9 cos (t) cos (t) d t

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Bước 2.2.2

Nâng

cos (t)

$\cos (t)$ lên lũy thừa

1

$1$ .

\int 9 ({cos}^{1} (t) cos (t)) d t

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Bước 2.2.3

Nâng

cos (t)

$\cos (t)$ lên lũy thừa

1

$1$ .

\int 9 ({cos}^{1} (t) {cos}^{1} (t)) d t

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Bước 2.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

\int 9 {cos (t)}^{1 + 1} d t

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 2.2.5

Cộng

1

$1$ và

1

$1$ .

\int 9 {cos}^{2} (t) d t

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

\int 9 {cos}^{2} (t) d t

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

\int 9 {cos}^{2} (t) d t

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Bước 3

Vì

9

$9$ không đổi đối với

t

$t$ , hãy di chuyển

9

$9$ ra khỏi tích phân.

9 \int {cos}^{2} (t) d t

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

Bước 4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại

{cos}^{2} (t)

$\cos^{2} (t)$ ở dạng

\frac{1 + cos (2 t)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

9 \int \frac{1 + cos (2 t)}{2} d t

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 5

Vì

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ không đổi đối với

t

$t$ , hãy di chuyển

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

9 (\frac{1}{2} \int 1 + cos (2 t) d t)

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Bước 6

Kết hợp

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ và

9

$9$ .

\frac{9}{2} \int 1 + cos (2 t) d t

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

\frac{9}{2} (\int d t + \int cos (2 t) d t)

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

\frac{9}{2} (t + C + \int cos (2 t) d t)

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 9

Giả sử

u = 2 t

$u = 2 t$ . Sau đó

d u = 2 d t

$d u = 2 d t$ , nên

\frac{1}{2} d u = d t

$\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng

u

$u$ và

d

$d$

u

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt

u = 2 t

$u = 2 t$ . Tìm

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm

2 t

$2 t$ .

\frac{d}{d t} [2 t]

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 9.1.2

Vì

2

$2$ không đổi đối với

t

$t$ , nên đạo hàm của

2 t

$2 t$ đối với

t

$t$ là

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$ .

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ trong đó

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân

2

$2$ với

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng

u

$u$ và

d u

$d u$ .

\frac{9}{2} (t + C + \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{9}{2} (t + C + \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 10

Kết hợp

cos (u)

$\cos (u)$ và

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{cos (u)}{2} d u)

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 11

Vì

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ không đổi đối với

u

$u$ , hãy di chuyển

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int cos (u) d u)

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Bước 12

Tích phân của

cos (u)

$\cos (u)$ đối với

u

$u$ là

sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (sin (u) + C))

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 13

Rút gọn.

\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} sin (u)) + C

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

t

$t$ với

arcsin (\frac{x}{3})

$\arcsin (\frac{x}{3})$ .

\frac{9}{2} (arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (u)) + C

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

u

$u$ với

2 t

$2 t$ .

\frac{9}{2} (arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 t)) + C

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 14.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

t

$t$ với

arcsin (\frac{x}{3})

$\arcsin (\frac{x}{3})$ .

\frac{9}{2} (arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{3}))) + C

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Bước 15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Bước 15.3

Kết hợp

$\frac{9}{2}$ và

$\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Bước 15.4

Nhân

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Nhân

$\frac{9}{2}$ với

$\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Bước 15.4.2

Nhân

$2$ với

$2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

Nhập bài toán CỦA BẠN