Giải tích Ví dụ

\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x

$\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử

x = \frac{1}{2} sin (t)

$x = \frac{1}{2} \sin (t)$ , trong đó

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó

d x = \frac{cos (t)}{2} d t

$d x = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . Lưu ý rằng vì

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên

\frac{cos (t)}{2}

$\frac{\cos (t)}{2}$ dương.

\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} sin (t))}^{2}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn

\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} sin (t))}^{2}}

$\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Kết hợp

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ và

sin (t)

$\sin (t)$ .

\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{sin (t)}{2})}^{2}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho

\frac{sin (t)}{2}

$\frac{\sin (t)}{2}$ .

\int \sqrt{1 - 4 \frac{{sin}^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3

Nâng

2

$2$ lên lũy thừa

2

$2$ .

\int \sqrt{1 - 4 \frac{{sin}^{2} (t)}{4}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung

4

$4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Đưa

4

$4$ ra ngoài

- 4

$- 4$ .

\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{{sin}^{2} (t)}{4}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.5

Viết lại

$- 1 \sin^{2} (t)$ ở dạng

$- \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp

$\cos (t)$ và

$\frac{\cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2

Nâng

$\cos (t)$ lên lũy thừa

$1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.2.3

Nâng

$\cos (t)$ lên lũy thừa

$1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Bước 2.2.5

Cộng

$1$ và

$1$ .

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Bước 3

Vì

$\frac{1}{2}$ không đổi đối với

$t$ , hãy di chuyển

$\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

Bước 4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại

$\cos^{2} (t)$ ở dạng

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 5

Vì

$\frac{1}{2}$ không đổi đối với

$t$ , hãy di chuyển

$\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân

$\frac{1}{2}$ với

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 6.2

Nhân

$2$ với

$2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 9

Giả sử

$u = 2 t$ . Sau đó

$d u = 2 d t$ , nên

$\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng

$u$ và

$d$

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt

$u = 2 t$ . Tìm

$\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm

$2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 9.1.2

Vì

$2$ không đổi đối với

$t$ , nên đạo hàm của

$2 t$ đối với

$t$ là

$2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là

$n t^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân

$2$ với

$1$ .

$2$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng

$u$ và

$d u$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 10

Kết hợp

$\cos (u)$ và

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 11

Vì

$\frac{1}{2}$ không đổi đối với

$u$ , hãy di chuyển

$\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Bước 12

Tích phân của

$\cos (u)$ đối với

$u$ là

$\sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 13

Rút gọn.

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$t$ với

$\arcsin (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u$ với

$2 t$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 14.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$t$ với

$\arcsin (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$\sin (2 \arcsin (2 x))$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}) + C$

Bước 15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Bước 15.3

Kết hợp

$\frac{1}{4}$ và

$\arcsin (2 x)$ .

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Bước 15.4

Nhân

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Nhân

$\frac{1}{4}$ với

$\frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C$

Bước 15.4.2

Nhân

$4$ với

$2$ .

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (2 x)) + C$

Nhập bài toán CỦA BẠN