Giải tích Ví dụ

\int x sin (4 x) d x

$\int x \sin (4 x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó

u = x

$u = x$ và

d v = sin (4 x)

$d v = \sin (4 x)$ .

x (- \frac{1}{4} cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} cos (4 x) d x

$x (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp

cos (4 x)

$\cos (4 x)$ và

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

x (- \frac{cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} cos (4 x) d x

$x (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

Bước 2.2

Kết hợp

x

$x$ và

\frac{cos (4 x)}{4}

$\frac{\cos (4 x)}{4}$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} cos (4 x) d x

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

- \frac{x cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} cos (4 x) d x

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

Bước 3

Vì

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ không đổi đối với

x

$x$ , hãy di chuyển

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

- \frac{x cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \int cos (4 x) d x)

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân

- 1

$- 1$ với

- 1

$- 1$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int cos (4 x) d x)

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

Bước 4.2

Nhân

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ với

1

$1$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int cos (4 x) d x

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x$

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int cos (4 x) d x

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x$

Bước 5

Giả sử

u = 4 x

$u = 4 x$ . Sau đó

d u = 4 d x

$d u = 4 d x$ , nên

\frac{1}{4} d u = d x

$\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng

u

$u$ và

d

$d$

u

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt

u = 4 x

$u = 4 x$ . Tìm

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm

4 x

$4 x$ .

\frac{d}{d x} [4 x]

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 5.1.2

Vì

4

$4$ không đổi đối với

x

$x$ , nên đạo hàm của

4 x

$4 x$ đối với

x

$x$ là

4 \frac{d}{d x} [x]

$4 \frac{d}{d x} [x]$ .

4 \frac{d}{d x} [x]

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 1

$n = 1$ .

4 \cdot 1

$4 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân

4

$4$ với

1

$1$ .

4

$4$

4

$4$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng

u

$u$ và

d u

$d u$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int cos (u) \frac{1}{4} d u

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int cos (u) \frac{1}{4} d u

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

Bước 6

Kết hợp

cos (u)

$\cos (u)$ và

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{cos (u)}{4} d u

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

Bước 7

Vì

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ không đổi đối với

u

$u$ , hãy di chuyển

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int cos (u) d u)

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ với

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int cos (u) d u

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \cos (u) d u$

Bước 8.2

Nhân

4

$4$ với

4

$4$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int cos (u) d u

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int cos (u) d u

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

Bước 9

Tích phân của

cos (u)

$\cos (u)$ đối với

u

$u$ là

sin (u)

$\sin (u)$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (sin (u) + C)

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (sin (u) + C)

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$ ở dạng

- \frac{1}{4} x cos (4 x) + \frac{1}{16} sin (u) + C

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$ .

- \frac{1}{4} x cos (4 x) + \frac{1}{16} sin (u) + C

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp

x

$x$ và

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

- \frac{x}{4} cos (4 x) + \frac{1}{16} sin (u) + C

$- \frac{x}{4} \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

Bước 10.2.2

Kết hợp

cos (4 x)

$\cos (4 x)$ và

\frac{x}{4}

$\frac{x}{4}$ .

- \frac{cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} sin (u) + C

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

- \frac{cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} sin (u) + C

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

- \frac{cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} sin (u) + C

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

u

$u$ với

4 x

$4 x$ .

- \frac{cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} sin (4 x) + C

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các thừa số trong

\frac{cos (4 x) x}{4}

$\frac{\cos (4 x) x}{4}$ .

- \frac{1}{4} x cos (4 x) + \frac{1}{16} sin (4 x) + C

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$

Nhập bài toán CỦA BẠN