Giải tích Ví dụ

\int x ln (x) d x

$\int x \ln (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó

u = ln (x)

$u = \ln (x)$ và

d v = x

$d v = x$ .

ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ và

x^{2}

$x^{2}$ .

ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2

Kết hợp

ln (x)

$\ln (x)$ và

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$ .

\frac{ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

\frac{ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Vì

$\frac{1}{2}$ không đổi đối với

$x$ , hãy di chuyển

$\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp

$x^{2}$ và

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của

$x^{2}$ và

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa

$x$ ra ngoài

$x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng

$x$ lên lũy thừa

$1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Bước 4.2.2.2

Đưa

$x$ ra ngoài

$x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Bước 4.2.2.5

Chia

$x$ cho

$1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của

$x$ đối với

$x$ là

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 6.2.2

Kết hợp

$\frac{\ln (x)}{2}$ và

$x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 6.2.3

Nhân

$\frac{1}{2}$ với

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Bước 6.2.4

Nhân

$2$ với

$2$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Bước 6.3

Kết hợp

$x^{2}$ và

$\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Bước 6.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Nhập bài toán CỦA BẠN