Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{\infty} k e^{k^{2}}$

Bước 1

Kiểm tra xem hàm có liên tục trên các biên tổng hay không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${k | k \in ℝ}$

Bước 1.2

$f (k)$ liên tục trên $[1, \infty)$ .

$Hàm số liên tục.$

Bước 2

Kiểm tra xem hàm có dương trên các biên hay không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập một bất đẳng thức.

$k e^{k^{2}} > 0$

Bước 2.2

Giải bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$k = 0$

$e^{k^{2}} = 0$

Bước 2.2.2

Đặt $k$ bằng với $0$ .

$k = 0$

Bước 2.2.3

Đặt $e^{k^{2}}$ bằng $0$ và giải tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đặt $e^{k^{2}}$ bằng với $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Bước 2.2.3.2

Giải $e^{k^{2}} = 0$ để tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Bước 2.2.3.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 2.2.3.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{k^{2}} = 0$

Không có đáp án

Bước 2.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $k e^{k^{2}} > 0$ đúng.

$k = 0$

Bước 2.2.5

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$k > 0$

Bước 3

Xác định vị trí mà hàm giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết $k e^{k^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (k) = k e^{k^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ là $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ trong đó $f (k) = k$ và $g (k) = e^{k^{2}}$ .

$k \frac{d}{d k} [e^{k^{2}}] + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Bước 3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ là $f' (g (k)) g' (k)$ trong đó $f (k) = e^{k}$ và $g (k) = k^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $k^{2}$ .

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Bước 3.2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$k (e^{u} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Bước 3.2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $k^{2}$ .

$k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Bước 3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ là $n k^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$k (e^{k^{2}} (2 k)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Bước 3.2.1.4

Nâng $k$ lên lũy thừa $1$ .

$k^{1} k (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Bước 3.2.1.5

Nâng $k$ lên lũy thừa $1$ .

$k^{1} k^{1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Bước 3.2.1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$k^{1 + 1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Bước 3.2.1.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.7.1

Cộng $1$ và $1$ .

$k^{2} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Bước 3.2.1.7.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{k^{2}}$ .

$k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Bước 3.2.1.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ là $n k^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \cdot 1$

Bước 3.2.1.9

Nhân $e^{k^{2}}$ với $1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}}$

Bước 3.2.1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.10.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$

Bước 3.2.1.10.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$ .

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Bước 3.2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (k)$ đối với $k$ là $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Bước 3.3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$

Bước 3.3.2

Đưa $e^{k^{2}}$ ra ngoài $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Đưa $e^{k^{2}}$ ra ngoài $2 k^{2} e^{k^{2}}$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} = 0$

Bước 3.3.2.2

Nhân với $1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1 = 0$

Bước 3.3.2.3

Đưa $e^{k^{2}}$ ra ngoài $e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$

Bước 3.3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

$2 k^{2} + 1 = 0$

Bước 3.3.4

Đặt $e^{k^{2}}$ bằng $0$ và giải tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Đặt $e^{k^{2}}$ bằng với $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Bước 3.3.4.2

Giải $e^{k^{2}} = 0$ để tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Bước 3.3.4.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 3.3.4.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{k^{2}} = 0$

Không có đáp án

Bước 3.3.5

Đặt $2 k^{2} + 1$ bằng $0$ và giải tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Đặt $2 k^{2} + 1$ bằng với $0$ .

$2 k^{2} + 1 = 0$

Bước 3.3.5.2

Giải $2 k^{2} + 1 = 0$ để tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 k^{2} = - 1$

Bước 3.3.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 k^{2} = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 k^{2} = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 3.3.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 3.3.5.2.2.2.1.2

Chia $k^{2}$ cho $1$ .

$k^{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 3.3.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$k^{2} = - \frac{1}{2}$

Bước 3.3.5.2.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$k = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.3.5.2.4

Rút gọn $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.4.1

Viết lại $- \frac{1}{2}$ ở dạng $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.4.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $i^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Bước 3.3.5.2.4.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Bước 3.3.5.2.4.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Bước 3.3.5.2.4.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Bước 3.3.5.2.4.4

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Bước 3.3.5.2.4.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$k = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 3.3.5.2.4.6

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Bước 3.3.5.2.4.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.4.7.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.3.5.2.4.7.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 3.3.5.2.4.7.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 3.3.5.2.4.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 3.3.5.2.4.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 3.3.5.2.4.7.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.4.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.3.5.2.4.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.3.5.2.4.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.3.5.2.4.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.4.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.3.5.2.4.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 3.3.5.2.4.7.6.5

Tính số mũ.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 3.3.5.2.4.8

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$k = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Bước 3.3.5.2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Bước 3.3.5.2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$k = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Bước 3.3.5.2.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Bước 3.3.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$ đúng.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Bước 3.4

Không có giá trị nào của $k$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 3.5

Không có điểm nào làm cho đạo hàm $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ bằng $0$ hoặc không xác định. Khoảng được sử dụng để kiểm tra xem $f (k) = k e^{k^{2}}$ tăng hay giảm là $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Bước 3.6

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $1$ , từ khoảng $(- \infty, \infty)$ trong đạo hàm $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương. Nếu kết quả là âm, thì biểu đồ giảm trên khoảng $(- \infty, \infty)$ . Nếu kết quả là dương, thì biểu đồ tăng trên khoảng $(- \infty, \infty)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Thay thế biến $k$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = 2 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Bước 3.6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 2 \cdot (1 e^{{(1)}^{2}}) + e^{{(1)}^{2}}$

Bước 3.6.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (1) = 2 e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Bước 3.6.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Bước 3.6.2.1.4

Rút gọn.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Bước 3.6.2.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 2 e + e$

Bước 3.6.2.1.6

Rút gọn.

$f' (1) = 2 e + e$

Bước 3.6.2.2

Cộng $2 e$ và $e$ .

$f' (1) = 3 e$

Bước 3.6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $3 e$ .

$3 e$

Bước 3.7

Kết quả của việc thay thế $1$ thành $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ là $3 e$ , là dương, do đó đồ thị tăng trong khoảng $(- \infty, \infty)$ .

Tăng trên $(- \infty, \infty)$ vì $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} > 0$

Bước 3.8

Tăng trong khoảng $(- \infty, \infty)$ có nghĩa là hàm luôn tăng.

$Luôn tăng$

Bước 4

Phép thử tích phân không áp dụng vì hàm số không phải lúc nào cũng giảm từ $1$ xuống $\infty$ .

Nhập bài toán CỦA BẠN