Giải tích Ví dụ

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

Bước 1

Để xác định xem chuỗi có hội tụ hay không, hãy xác định xem tích phân của dãy có hội tụ hay không.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x)]_{1}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\arctan (x)$ tại $t$ và tại $1$ .

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

Bước 5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Bước 6.2

Giới hạn khi $t$ tiến về $\infty$ là bằng $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Bước 6.3

Tính giới hạn của $\arctan (1)$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

Bước 6.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Bước 6.4.2

Để viết $\frac{π}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Bước 6.4.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Bước 6.4.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 6.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Bước 6.4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.5.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

Bước 6.4.5.2

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$\frac{π}{4}$

Bước 7

Vì tích phân hội tụ nên chuỗi hội tụ.

Nhập bài toán CỦA BẠN