Giải tích Ví dụ

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${\displaystyle {\left(a^m\right)}^n=a^{mn}}$.

Triệt tiêu thừa số chung ${\displaystyle n}$.

Di chuyển giới hạn vào bên trong các dấu giá trị tuyệt đối.

Chuyển số hạng ${\displaystyle -2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với ${\displaystyle n}$.

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi ${\displaystyle n}$ tiến dần đến ${\displaystyle \infty }$.

Tính giới hạn của ${\displaystyle 1}$ mà không đổi khi ${\displaystyle n}$ tiến dần đến ${\displaystyle \infty }$.

Viết lại ${\displaystyle n^{\frac{1}{n}}}$ ở dạng ${\displaystyle e^{\ln \left(n^{\frac{1}{n}}\right)}}$.

Khai triển ${\displaystyle \ln \left(n^{\frac{1}{n}}\right)}$ bằng cách di chuyển ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ ra bên ngoài lôgarit.

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

Kết hợp ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ và ${\displaystyle \ln \left(n\right)}$.

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Vì ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

Nhân ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ với ${\displaystyle 1}$.

Bất kỳ đại lượng nào mũ ${\displaystyle 0}$ lên đều là ${\displaystyle 1}$.

Triệt tiêu thừa số chung ${\displaystyle 1}$.

Nhân ${\displaystyle -2}$ với ${\displaystyle 1}$.

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa ${\displaystyle -2}$ và ${\displaystyle 0}$ là ${\displaystyle 2}$.