Giải tích Ví dụ

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

Bước 1

Đối với chuỗi vô hạn $\sum_{}^{} a_{n}$ , tìm giới hạn $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ để xác định sự hội tụ bằng Tiêu chuẩn căn số Cauchy.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Bước 2

Thay cho $a_{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển số mũ thành giá trị tuyệt đối.

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Bước 3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

Bước 3.3

Rút gọn.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển giới hạn vào bên trong các dấu giá trị tuyệt đối.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Bước 4.2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $n$ trong mẫu số, chính là $n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $n$ và $n^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Đưa $n$ ra ngoài $2 n$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.2.1

Đưa $n$ ra ngoài $n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $n^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $n^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.3.2.2

Chia $5$ cho $1$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.3.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.3.5

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{n^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.5.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.5.3

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Bước 4.6

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{n^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

Bước 4.7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

Bước 4.7.1.2

Cộng $0$ và $1$ .

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

Bước 4.7.2

Cộng $5$ và $0$ .

$L = | \frac{1}{5} |$

Bước 4.7.3

$\frac{1}{5}$ xấp xỉ $0.2$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$L = \frac{1}{5}$

Bước 4.8

Chia $1$ cho $5$ .

$L = 0.2$

Bước 5

Nếu $L < 1$ , chuỗi sẽ hội tụ tuyệt đối. Nếu $L > 1$ , chuỗi sẽ phân kỳ. Nếu $L = 1$ , phép thử không có kết quả. Nếu là vậy, $L < 1$ .

Chuỗi hội tụ ở $[1, \infty)$

Nhập bài toán CỦA BẠN