Giải tích Ví dụ

\infty \sum n = 0 \frac{{(- 2)}^{n}}{n}

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n}$

Bước 1

Đối với chuỗi vô hạn

\sum a_{n}

$\sum_{}^{} a_{n}$ , tìm giới hạn

L = lim n \to \infty {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ để xác định sự hội tụ bằng Tiêu chuẩn căn số Cauchy.

L = lim n \to \infty {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Bước 2

Thay cho

a_{n}

$a_{n}$ .

L = lim n \to \infty {∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{n}}{n} ∣ ∣ ∣}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| \frac{{(- 2)}^{n}}{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển số mũ thành giá trị tuyệt đối.

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Bước 3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho

\frac{{(- 2)}^{n}}{n}

$\frac{{(- 2)}^{n}}{n}$ .

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Bước 3.3

Nhân các số mũ trong

{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}

${({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung

n

$n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Bước 3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Bước 3.4

Tính số mũ.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Di chuyển giới hạn vào bên trong các dấu giá trị tuyệt đối.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Bước 4.1.2

Chuyển số hạng

$- 2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với

$n$ .

$L = | - 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Bước 4.1.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi

$n$ tiến dần đến

$\infty$ .

$L = | - 2 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Bước 4.1.4

Tính giới hạn của

$1$ mà không đổi khi

$n$ tiến dần đến

$\infty$ .

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Bước 4.2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại

$n^{\frac{1}{n}}$ ở dạng

$e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ .

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}} |$

Bước 4.2.2

Khai triển

$\ln (n^{\frac{1}{n}})$ bằng cách di chuyển

$\frac{1}{n}$ ra bên ngoài lôgarit.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Bước 4.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Bước 4.3.2

Kết hợp

$\frac{1}{n}$ và

$\ln (n)$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

Bước 4.4

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (n)}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Bước 4.4.1.2

Vì logarit tiến dần đến vô cực, nên giá trị tiến đến

$\infty$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Bước 4.4.1.3

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

Bước 4.4.2

Vì

$\frac{\infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}$

Bước 4.4.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Bước 4.4.3.2

Đạo hàm của

$\ln (n)$ đối với

$n$ là

$\frac{1}{n}$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Bước 4.4.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d n} [n^{n}]$ là

$n \cdot n^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

Bước 4.4.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot 1}} |$

Bước 4.4.5

Nhân

$\frac{1}{n}$ với

$1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

Bước 4.5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số

$\frac{1}{n}$ tiến dần đến

$0$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{0}} |$

Bước 4.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ

$0$ lên đều là

$1$ .

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Bước 4.6.2

Triệt tiêu thừa số chung

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Bước 4.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$L = | - 2 \cdot 1 |$

Bước 4.6.3

Nhân

$- 2$ với

$1$ .

$L = | - 2 |$

Bước 4.6.4

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa

$- 2$ và

$0$ là

$2$ .

$L = 2$

Bước 5

Nếu

$L < 1$ , chuỗi sẽ hội tụ tuyệt đối. Nếu

$L > 1$ , chuỗi sẽ phân kỳ. Nếu

$L = 1$ , phép thử không có kết quả. Nếu là vậy,

$L > 1$ .

Chuỗi phân kỳ ở

$[0, \infty)$

Nhập bài toán CỦA BẠN