Giải tích Ví dụ

$\sum_{0}^{\infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

Bước 1

Chuỗi phân kỳ vì giới hạn của dãy khi $n$ tiến dần đến $\infty$ không tồn tại hoặc không bằng $0$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $n$ trong mẫu số, chính là $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n^{2}}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $n^{2}$ và $n^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Đưa $n^{2}$ ra ngoài $2 n^{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.2.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.2.1

Đưa $n^{2}$ ra ngoài $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $n^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1 \cdot 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $n^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.2.2.2

Chia $2$ cho $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.2.5

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{n}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.4.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.4.3

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

Bước 2.4.4

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 2.5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{n^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Bước 2.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Bước 2.6.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{0 - 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Bước 2.6.1.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Bước 2.6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 0}$

Bước 2.6.2.2

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Bước 2.6.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{2}$

Bước 3

Giới hạn tồn tại và không bằng $0$ nên chuỗi phân kỳ.

Nhập bài toán CỦA BẠN